Model Log-Linear: Bagaimana Mengukur Elastisitas?
Situs Ekonomi - Marilah kita meninjau kembali fungsi pengeluaran untuk membeli kendaraan elektrik yang pernah kita bahas kurang lebih dua minggu yang lalu. Namun, sekarang pertimbangkan model fungsi pengeluaran untuk membeli kendaraan tersebut di bawah ini.
Untuk memudahkan perhitungan aljabarnya, kita akan memperkenalkan faktor kesalahan ui belakangan.
Model ini memiliki variabel X yang tak linear. Akan tetapi, marilah menyatakan Persamaan (1.1) dalam bentuk lain namun artinya sama, yakni sebagai berikut:
In Yi = In A + B2 In Xi (1.2)
di mana In = logaritma natural, atau dengan kata lain, logaritma terhadap basis e. Sekarang, bila kita misalkan:
B1 = In A (1.3)
kita dapat menuliskan Persamaan (1.2) sebagai:
In Yi = B1 + B2 In Xi (1.4).
Dan untuk keperluan penaksiran, kita dapat menuliskan model ini sebagai:
In Yi = B1 + B2 In Xi + ui (1.5).
Ini merupakan model regresi linear karena parameter-parameter B1 dan B2 dalam model ini berbentuk linear. Menariknya, model ini juga linear karena variabel Y dan X dinyatakan dalam bentuk logaritma. Karena bentuk linearitas yang demikian ini, maka model-model seperti Persamaan (1.5) disebut model log-ganda (karena kedua variabelnya dinyatakan dalam bentuk logaritma) atau log-linear (karena variabel-variabelnya berbentuk logaritma linear).
Perhatikan bagaimana model (1.1) yang jelas tampak tak linear dapat diubah menjadi model linear (dari segi parameternya) melalui transformasi yang sesuai, yakni dalam hal ini transformasi logaritmik. Sekarang, dengan memisalkan Yi = In Yi dan Xi = In Xi, maka kita dapat menulis model (1.5) sebagai berikut:
Gambar 1.1: Model Elastisitas Konstan.
Yi = B1 + B2 Xi + ui (1.6)
Model ini berbentuk linear dari segi parameter maupun variabel Y dan X yang telah mengalami transformasi. Jika asumsi-asumsi model regresi linear klasik (MRLK) terpenuhi untuk model yang telah diubah ini, regresi (1.6) dapat ditaksir dengan mudah dengan menggunakan metode kuadrat terkecil biasa (OLS). Dengan demikian, penaksir-penaksir yang diperoleh memiliki sifat penaksir tak bias linear terbaik (BLUE) seperti biasanya.
Salah satu sifat menarik dari model log-ganda atau log-linear ini yang membuatnya populer dalam penelitian empiris adalah koefisien kemiringan B2 mengukur elastisitas Y sehubungan dengan X, atau persentase perubahan Y untuk persentase perubahan (kecil) tertentu dalam X. Secara simbolis, jika kita misalkan ΔY menyatakan perubahan kecil dalam Y dan ΔX menyatakan perubahan kecil dalam X, kita mendefinisikan koefisien elastisitas, E, sebagai:
Jadi, jika Y menyatakan jumlah komoditas yang diminta dan X adalah harga satuan dari komoditas tersebut, maka B2 mengukur elastisitas harga atas permintaan. Semua ini dapat ditunjukkan dengan menggunakan grafik (Gujarati, 2006: 214).
Gambar 1.1 (a) menyatakan fungsi (1.1) dan Gambar 1.1 (b) menunjukkan transformasi logaritmanya. Kemiringan garis lurus yang ditunjukkan pada Gambar 1.1 (b) memberikan taksiran atas elastisitas harga, (-B2). Salah satu sifat penting dari model log-linear dapat terlihat dengan jelas dari Gambar 1.1 (b).
Karena garis regresi ini berbentuk garis lurus (dalam bentuk log tehadap Y dan X), maka kemiringannya (-B2) konstan di sepanjang garis tersebut. Dan karena koefisien kemiringannya sama dengan koefisien elastisitas, maka untuk model ini, elastisitasnya juga konstan di sepanjang garis regresi -- tak peduli pada nilai X berapa elastisitas ini dihitung.
Karena sifat khusus inilah, model log-ganda atau log-linear juga disebut sebagai model elastisitas konstan. Oleh sebab itu, kita akan menggunakan istilah-istilah tersebut secara bergantian (Gujarati, 2006: 215).
