Dampak dari Batasan Nonnegatif

Situsekonomi.com - Mengambil kasus dari variabel tunggal, secara khusus, kita mendapatkan

di mana fungsi dari f diasumsikan untuk dapat dibedakan. Berdasarkan batasan x₁ ≥ 0, terdapat tiga situasi yang mungkin muncul (Chiang, 2005: 379).

Pertama, jika suatu maksimum lokal π muncul di bagian luar dari daerah layak yang terarsir pada gambar berikut ini, seperti titik A pada Gambar a, maka kita memiliki interior solution. Syarat orde pertama dalam kasus ini adalah dπ/dx₁ = f'(x₁) = 0, sama dengan yang kita jumpai dalam masalah klasik.

Kedua, seperti yang diilustrasikan oleh titik B dalam Gambar b, suatu maksimum lokal juga dapat muncul pada sumbu vertikal, di mana x₁ = 0. Bahkan, pada kasus kedua ini, di mana kita memiliki boundary solution, syarat orde pertama f'(x₁) = 0 tetap valid.

Akan tetapi, terdapat kemungkinan ketiga, yakni munculnya suatu maksimum lokal dalam konteks saat ini dengan mengambil posisi dari titik C atau titik D dalam Gambar c. Karena, untuk memenuhi kualifikasi sebagai suatu maksimum lokal dalam Soal (1.1), titik kandidat hanyalah harus lebih tinggi dari titik sekitarnya dalam daerah yang layak.

Berdasarkan kemungkinan yang terakhir ini, titik maksimum dalam soal seperti (1.1) dapat dicirikan, tidak hanya dengan persamaan, f'(x₁) = 0, tapi juga dengan ketidaksamaan f'(x₁) < 0. Perhatikan bahwa di lain pihak, ketidaksamaan f'(x₁) > 0 dapat dengan aman diabaikan, karena pada suatu titik di mana kurva melengkung ke atas, kita tidak akan pernah memiliki sebuah maksimum, bahkan jika titik tersebut berada di sumbu vertikal, seperti titik E pada Gambar a.

Inti dari pembahasan sebelumnya adalah bahwa agar suatu nilai x₁ dapat memberikan maksimum lokal π dalam Soal 1.1, salah satu dari ketiga kondisi berikut harus dipenuhi

Sebenarnya, ketiga kondisi tersebut dapat dikonsolidasikan ke dalam suatu pernyataan tunggal

Ketidaksamaan pertama dalam (1.5) merupakan ringkasan dari informasi tentang f'(x₁) yang diperoleh dari (1.2) hingga (1.4). Ketidaksamaan yang kedua merupakan ringkasan yang serupa untuk x₁; bahkan, ketidaksamaan tersebut hanya merupakan iterasi ulang batasan nonnegatif dari soal (Chiang, 2005: 380).

Dan, sebagai bagian ketiga dari (1.5), kita memiliki sebuah persamaan yang mengekspresikan suatu fitur umum penting pada (1.2) hingga (1.4), bahwa dari kedua kuantitas x₁ dan f'(x₁), setidaknya salah satunya harus memiliki nilai nol, sehingga hasil dari keduanya harus nol. Fitur ini disebut sebagai complementary slackness antara x₁ dan f'(x₁).

Disatukan, ketiga bagian dari (1.5) membentuk syarat perlu orde pertama untuk suatu maksimum lokal dalam suatu masalah di mana variabel pilihan harus non-negatif. Akan tetapi, melangkah lebih jauh, kita juga dapat mengambil ketiga bagian itu untuk keperluan maksimum global. Ini disebabkan karena suatu maksimum global sesungguhnya juga merupakan suatu maksimum lokal dan, dengan demikian, juga harus memenuhi syarat perlu untuk suatu maksimum lokal.

Ketika masalah memiliki variabel pilihan n:

Kondisi orde pertama klasik f₁ = f₂ = ... = f_n = 0 harus dimodifikasi secara serupa. Untuk melakukan ini, kita dapat menerapkan jenis alasan yang sama yang mendasari (1.5) untuk setiap variabel pilihan x_j dengan sendirinya.

Secara grafis, hal ini digunakan untuk melihat sumbu horizontal pada gambar di atas sebagai perwakilan dari setiap x_j secara bergantian. Modifikasi yang diperlukan untuk syarat orde pertama nantinya akan menghasilkan:

di mana f_j merupakan turunan parsial dari ∂π/∂x_j.

Gambar oleh Irfan Ahmad dari Pixabay

Rizki Gusnandar Kelemahan terbesar kita adalah bersandar pada kepasrahan. Jalan yang paling jelas menuju kesuksesan adalah selalu mencoba, setidaknya satu kali lagi - Thomas A. Edison.

Share :