Kualifikasi Kendala: Ketidakteraturan pada Titik Batasan
Situsekonomi.com - Kondisi Kuhn-Tucker merupakan syarat perlu hanya jika suatu ketentuan tertentu dipenuhi. Ketentuan tersebut, yang disebut kualifikasi kendala, mensyaratkan suatu batasan pada fungsi kendala dari soal pemograman nonlinear, yang khusus bertujuan mengatur beberapa ketidakteraturan pada batasan dari himpunan yang layak. Hal ini akan memperlemah kesahihan kondisi Kuhn-Tucker jika pemecahan optimal muncul di sini (Chiang, 2005: 388).
Ketidakteraturan pada Titik Batasan
Mari kita ilustrasikan sifat dari ketidakteraturan semacam itu dengan beberapa contoh konkret.
Contoh 1:
Akan tetapi, pemecahan ini gagal untuk memenuhi kondisi maksimum Kuhn-Tucker. Untuk memeriksa hal ini, kita mula-mula menuliskan fungsi Lagrangian
Z = x1 + λ1 [-x2 + (1 - x1)3]
Sebagai kondisi marjinal pertama, kita seharusnya memiliki
Bahkan, karena x1* = 1 adalah positif, complementary slackness mensyaratkan bahwa derivatif ini hilang ketika dievaluasi pada titik (1, 0). Namun, nilai aktual yang kita peroleh adalah ∂Z/∂x1* = 1, dan oleh karena itu melanggar kondisi marjinal yang ditentukan (Chiang, 2005: 389).
Alasan dari anomali ini adalah bahwa pemecahan optimal (1, 0) muncul dalam contoh ini pada suatu titik puncak yang mengarah ke luar, yang membentuk sejenis ketidakteraturan yang dapat mengacaukan kondisi Kuhn-Tucker pada suatu pemecahan optimal batasan. Titik puncak (cusp) adalah suatu titik yang tajam, yang terbentuk ketika suatu kurva tiba-tiba berbalik arah, sehingga kemiringan dari satu sisi kurva pada satu sisi titik sama dengan kemiringan dari satu kurva pada sisi titik yang lain.
Di sini, batasan dari daerah yang layak pada mulanya mengikuti kurva kendala, akan tetapi ketika titik (1, 0) dicapai, batasan membelok tiba-tiba ke arah barat dan mengikuti jejak dari sumbu horizontal setelahnya. Karena lereng baik dari sisi yang melengkung dan sisi horizontal dari batasan adalah nol pada titik (1, 0), titik tersebut merupakan sebuah titik puncak.
Contoh 2: Untuk soal dalam Contoh 1, mari kita tambahkan suatu kendala baru
2x1 + x2 ≤ 2
yang batasannya, x2 = 2 - 2x1, digambar sebagai suatu garis lurus dengan kemiringan -2 yang melewati titik optimal pada gambar kurva yang sama. Jelas daerah yang mungkin tetap sama dengan sebelumnya, dan demikian juga dengan pemecahan optimal pada titik puncak.
Namun, jika kita menulis fungsi Lagrangian yang baru
Z = x1 + λ1 [-x2 + (1 - x1)3] + λ2 [2 - 2x1 - x2]
dan kondisi marjinal
ternyata kita dapatkan bahwa nilai x1* = 1, x2* = 0, λ1* = 1, dan λ2* = 1/2 akan memenuhi keempat ketidaksamaan ini, dan juga kondisi complementary-slackness dan non-negatif. Bahkan, λ1* dapat diterapkan pada setiap nilai nonnegatif (bukan hanya 1), dan semua kondisi masih dapat dipenuhi -- ini menunjukkan bahwa nilai optimal pengali Lagrange tidak perlu unik. Akan tetapi, yang lebih penting, contoh ini menunjukkan bahwa kondisi Kuhn-Tucker dapat tetap valid terlepas dari adanya titik puncak.
