Kombinasi Input dengan Biaya Terkecil: Syarat Orde Pertama
Situsekonomi.com - Dengan mengasumsikan suatu fungsi produksi yang mulus dengan dua variabel input, Q = Q (a, b), di mana Qa, Qb > 0, dan diasumsikan bahwa kedua harga input adalah eksogen (walaupun subskrip nol dihilangkan), kita dapat memformulasikan masalahnya sebagai masalah peminimum biaya
C = aPa + bPb
dengan kendala output
Q (a, b) = Q0
Sehingga, fungsi Lagrangiannya adalah
Z = aPa + bPb + μ [Q0 - Q (a, b)]
Untuk memenuhi syarat orde pertama pada harga C yang minimum, tingkat input (variabel pilihan) harus memenuhi persamaan simultan sebagai berikut:
Zμ = Q0 - Q (a, b) = 0
Za = Pa - μQa = 0
Zb = Pb - μQb = 0
Persamaan pertama dalam himpunan hanyalah merupakan pernyataan kembali dari kendalanya, dan dua persamaan berikutnya memberikan hasil sebagai berikut
Pada titik kombinasi input yang optimal, rasio harga input terhadap produk marjinal harus sama untuk setiap input. Karena rasio ini mengukur jumlah hasil per unit produk marjinal dan input yang bersangkutan, pengali Lagrange dapat diartikan sebagai biaya produksi marjinal dalam keadaan optimum. Interpretasi ini mengilustrasikan bahwa nilai optimal pengali Lagrange mengukur pengaruh statis komparatif dari konstanta kendala terhadap nilai optimal dari fungsi objektifnya, yaitu μ* = §C*/§Q0), di mana tanda R menunjukkan derivatif total parsial (Chiang, 2005: 367).
Persamaan (1.1) dapat juga ditulis dalam bentuk
yang dapat Anda bandingkan dengan
Dalam bentuk ini, syarat orde pertamanya dapat diterangkan dengan isokuan dan isokos.
Sebagaimana yang ditunjukkan oleh persamaan berikut ini:
rasio Qa/Qb adalah kemiringan negatif dari isokuan; yaitu, merupakan ukuran tingkat substitusi teknis marjinal dari a terhadap b [marginal rate of technical substitution of a for b (MRTSab)]. Pada model ini, tingkat output ditentukan oleh Q0; berarti hanya ada satu isokuan, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini, dengan kemiringan yang negatif.
Sebaliknya, rasio Pa/Pb menunjukkan kemiringan negatif dari isokos (suatu istilah yang sebanding dengan garis anggaran pada teori konsumen). Sebuah isokos, yang didefinisikan sebagai tempat kedudukan dari kombinasi input/masukan, yang memberikan biaya total yang sama, dapat dinyatakan dengan persamaan
di mana C0 adalah (parameter) besarnya biaya.
Jika digambarkan pada bidang ab, seperti pada gambar kurva di atas, maka akan didapatkan kumpulan garis lurus dengan kemiringan (negatif) -- Pa/Pb (dan perpotongan sumbu vertikal C0/Pb). Oleh karena itu, kesamaan kedua rasio tersebut merupakan kesamaan kemiringan dari isokuan dan isokos tertentu. Karena kita harus bertahan pada isokuan tertentu, keadaan ini menghasilkan titik singgung E dan kombinasi input (a*, b*).
