Memaksimumkan Utilitas dan Permintaan Konsumen: Analisis Statis Komparatif
Situsekonomi.com - Dalam model konsumen, harga Px dan Py adalah eksogen, sebagaimana halnya dalam jumlah anggaran, B. Bila kita anggap terpenuhinya syarat cukup orde kedua, kita dapat menganalisis sifat statis komparatif dari model dengan dasar syarat orde pertama
Seperti ditunjukkan pada
Akibatnya, dalil fungsi implisit dapat digunakan dan kita bisa menyatakan nilai optimal dari variabel endogen sebagai fungsi implisit dari variabel eksogen:
λ* = λ* (Px, Py, B)
x* = x* (Px, Py, B) (1.4)
y* = y* (Px, Py, B)
Fungsi-fungsi ini diketahui memiliki derivatif kontinu yang memberikan informasi mengenai statis komparatif.
Secara khusus, derivatif dua fungsi yang terakhir x* dan y* yang merupakan gambaran perilaku permintaan konsumen dapat menyatakan kepada kita bagaimana konsumen akan memberi reaksi terhadap perubahan harga dan anggaran. Tetapi untuk memperoleh derivatif ini, kita pertama kali harus mengubah (1.1) ke dalam suatu himpunan kesamaan keseimbangan sebagai berikut:
B - x*Px - y*Py ≡ 0
Ux (x*, y*) - λ*Px ≡ 0 (1.5)
Uy (x*, y*) - λ*Py ≡ 0
Dengan mengambil diferensial total setiap persamaan secara bergantian (dengan mengijinkan setiap variabel untuk berubah) dan memperhatikan bahwa Uxy = Uyx kita akan sampai pada sistem linear
Untuk menelaah pengaruh perubahan pada besarnya anggaran (yang menunjukkan pendapatan konsumen), misalkan dPx = dPy = 0, tetapi tetap mempertahankan dB ≠ 0. Kemudian, setelah membagi (1.6) dengan dB, dan mengartikan setiap rasio diferensial sebagai derivatif parsial, kita dapat menuliskan persamaan matriks
Seperti dapat Anda buktikan, urutan elemen-elemen pada matriks koefisien adalah sama persis dengan apa yang akan timbul pada Jacobian |J|, yang mempunyai nilai sama dengan Hessian terbatas |H̅| meskipun yang terakhir ini mempunyai Px dan Py pada baris pertama dan kolom pertama. Dengan aturan Cramer, kita dapat memecahkan ketiga derivatif statis komparatif, tetapi kita akan membatasi perhatian kita pada dua matriks berikut:
Menurut syarat orde kedua, |J| = |H̅| adalah positif, sebagaimana halnya dengan Px dan Py. Sayangnya, dengan tidak adanya tambahan informasi mengenai besarnya Px, Py, dan Uij, kita tetap tidak dapat memastikan tanda kedua derivatif statis komparatif tersebut; ini berarti bahwa, bila anggaran konsumen bertambah, pembeliannya yang optimal x* dan y* bisa naik atau turun. Dalam hal, katakanlah, x* turun pada saat B naik, produk x merupakan barang inferior sebagai lawan dari barang normal (Chiang, 2005: 356).
Selanjutnya, kita bisa menganalisis pengaruh perubahan Px. Kali ini misalkan dPy = dB = 0, tetapi dengan tetap mempertahankan dPx ≠ 0, dan kemudian membagi (1.6) dengan dPx, kita dapatkan persamaan matriks lainnya
Bagaimana kita menafsirkan dua hasil ini? Yang pertama, (∂x*/∂Px), menceritakan bagaimana perubahan Px yang mempengaruhi pembelian optimal x; jadi ia merupakan dasar untuk mempelajari fungsi permintaan akan x seorang konsumen. Ada dua komponen suku dalam hal ini.
Suku pertama, T1, dapat ditulis kembali dengan menggunakan (1.8) sebagai -(∂x*/∂B)x*. Dalam hal ini, kelihatannya T1 merupakan ukuran pengaruh perubahan B (anggaran atau pendapatan) terhadap pembelian optimal x*, dengan x* sendiri sebagai faktor penimbang.
Namun, karena turunan ini jelas ditekankan pada perubahan harga, T1 harus diartikan sebagai efek pendapatan (income effect) dari perubahan harga. Bila harga Px naik, penurunan pendapatan nyata konsumen akan menghasilkan pengaruh terhadap x sama seperti pada terjadinya penurunan dalam B; inilah sebabnya dipergunakan -(∂x*/∂B).
Dapat dimengerti, semakin menonjol peranan komoditi x dalam anggaran total, semakin besar efek pendapatannya -- dan karena itu timbullah faktor penimbang x* dalam T1. Interpretasi ini dapat diperlihatkan lebih jelas dengan menyatakan pengaruh dari hilangnya pendapatan konsumen dengan diferensial d B = -x*d Px. Dengan demikian, kita dapatkan
Jika kini kita memberikan kompensasi bagi konsumen dengan adanya pendapatan yang hilang dengan pembayaran uang tunai yang besarnya sama dengan dB, maka, karena adanya netralisasi terhadap pengaruh pendapatan, komponen yang tertinggal dalam derivatif statis komparatif (∂x*/∂Px), yaitu T2, akan mengukur perubahan x yang sepenuhnya berasal dari substitusi yang disebabkan harga satu komoditi terhadap komoditi lainnya, yaitu efek substitusi (substitution effect) dari perubahan Px. Lebih jelasnya, mari kita kembali ke (1.6), dan melihat bagaimana kompensasi pendapatan akan mengubah situasinya (Chiang, 2005: 357).
Ketika mempelajari pengaruh d Px saja (dengan d Py = d B = 0), persamaan pertama pada (1.6) dapat ditulis sebagai -Px dx* - Py dy* = x*d Px. Karena indikasi efek pendapatan yang hilang terhadap konsumen terletak pada ekspresi x*d Px, (yang secara kebetulan timbul hanya dalam persamaan pertama), untuk mengkompensasikan kerugian konsumen berarti membuat suku ini sama dengan nol.
Dengan demikian, vektor konstan pada (1.10) harus diubah dari
Apa yang dapat kita katakan tentang tanda (∂x*/∂Px)? Pengaruh substitusi T2 jelas negatif, karena |J| > 0 dan λ* > 0. Efek pendapatan T1, di lain pihak, tidak dapat ditentukan tandanya menurut (1.8).
Seandainya negatif, ini akan menguatkan T2; dalam peristiwa ini, kenaikan pada Px pasti menurunkan pembelian x, dan kurva permintaan dari maksimisasi utilitas konsumen akan mempunyai kecondongan negatif. Seandainya menjadi positif, tetapi besarannya relatif kecil, ini akan mengurangi efek substitusi, meskipun hasil keseluruhan akan tetap merupakan kurva permintaan yang mempunyai kecondongan menurun.
Tetapi dalam hal T1 positif dan mendominasi T2 (seperti apabila x* merupakan suatu yang penting dalam anggaran konsumen, sehingga memberikan suatu faktor pertimbangan yang besar sekali), maka kenaikan pada Px sebenarnya akan mengakibatkan semakin besarnya pembelian x, yaitu suatu sifat permintaan yang khusus dari apa yang disebut barang-barang Giffen. Secara normal, sudah tentu biasanya kita mengharap (∂x*/∂Px) adalah negatif (Chiang, 2005: 358).
Akhirnya, marilah kita periksa derivatif statis komparatif pada (1.12), (∂y*/∂Px) = T3 + T4, yang ada hubungannya dengan efek silang (cross effect) dari suatu perubahan harga x terhadap pembelian optimal y. Suku T3 mirip dengan T1 dan sekali lagi mempunyai interpretasi dari efek pendapatan.
Ingatlah bahwa faktor penimbang di sini sekali lagi adalah x* (bukan y*); ini karena kita sedang mempelajari pengaruh perubahan Px terhadap efek pendapatan, yang besarannya tergantung pada kepentingan relatif x* (bukan y*) dalam anggaran konsumen. Tentu saja, suku yang tersisa, T4, sekali lagi merupakan ukuran efek substitusi.
Tanda T3, menurut (1.9), adalah tergantung pada faktor-faktor seperti Uxx, Uyx, dan seterusnya, dan tidak dapat ditentukan tanpa pembatasan lebih lanjut pada model. Namun demikian, efek substitusi T4 dalam model kita tentunya harus positif, karena λ*, Px, Py dan |J| semuanya positif.
Ini berarti bahwa suatu kenaikan dalam harga x akan selalu menaikkan pembelian y dalam model dua komoditi kita, kecuali kalau ditiadakan oleh efek pendapatan negatif yang lebih kuat. Dengan kata lain, dalam konteks model saat ini, di mana konsumen hanya dapat memilih di antara dua barang, barang-barang ini harus menghasilkan suatu hubungan satu sama lain sebagai barang substitusi.
Meskipun analisis di atas berhubungan dengan pengaruh suatu perubahan pada Px, hasil yang kita dapat, siap diterapkan untuk kasus perubahan pada Py. Model kita harus sedemikian rupa sehingga kedudukan yang ditempati oleh variabel x dan y simetris secara sempurna. Jadi, untuk memperkirakan pengaruh perubahan pada Py, yang harus dilakukan adalah mempertukarkan peranan x dan y pada hasil yang telah didapat di atas.
Gambar oleh Gerd Altmann dari Pixabay
