Kuasi Kecekungan dan Kuasi Kecembungan: Fungsi-fungsi yang Dapat Didiferensialkan
Situsekonomi.com - Definisi dari kedua persamaan di atas tidak memerlukan kediferensialan fungsi f. Namun, jika f dapat didiferensialkan, maka kuasi kecekungan dan kuasi kecembungan dapat ditentukan dalam bentuk turunan pertamanya:
Kuasi kecekungan dan kuasi kecembungan akan mutlak, bila ketidaksamaan lemah di sebelah kanan berubah menjadi ketidaksamaan mutlak > 0. Jika ada dua atau lebih variabel bebas, maka definisi ini perlu diubah sebagai berikut:
Akhirnya, bila fungsi z = f (x1, ..., xn) dapat didiferensialkan secara terus-menerus sebanyak dua kali, kuasi kecekungan dan kuasi kecembungan dapat dicek dengan sarana turunan pertama dan kedua dari fungsi, disusun ke dalam determinan terbatas
Namun, batas pada |B| terdiri dari derivatif pertama fungsi f dan bukannya dari kendala fungsi g. Ini karena |B| secara eksklusif tergantung pada derivatif fungsi f sendiri, sehingga kita dapat menggunakan |B| bersama dengan minor utamanya secara berturut-turut
Kita akan nyatakan di sini dua syarat; pertama adalah yang perlu (necessary), dan lainnya adalah cukup (sufficient). Keduanya berhubungan dengan kuasi kecekungan dan kuasi kecembungan pada domain (daerah asal) yang hanya berisi ortan nonnegatif -- nonnegatif orthant (analogi untuk kuadrat nonnegatif n dimensi) yaitu x1, ..., xn ≥ 0.
Agar z = f (x1, ..., xn) menjadi kuasi cekung pada ortan nonnegatif, diperlukan
Perlu dicatat bahwa kondisi |B1| ≤ 0 dalam (1.7) secara otomatis terpenuhi karena |B1| = -f12; disebutkan di sini hanya untuk kesimetrisan. Begitu juga kondisi |B1| < 0 dalam (1.8).
