Kasus n-Variabel dan Multikendala
Situsekonomi.com - Perumusan umum metode pengali-Lagrange bagi n variabel dapat dengan mudah dilaksanakan jika kita menulis variabel-variabel pilihan dalam notasi subskrip. Fungsi objektifnya akan menjadi,
z = f (x1, x2, ..., xn)
dengan syarat kendala
g (x1, x2, ..., xn) = c
Fungsi Lagrangian akan menjadi
Z = f (x1, x2, ..., xn) + λ [c - g (x1, x2, ..., xn)]
Syarat orde pertama untuk hal ini akan terdiri dari (n + 1) persamaan simultan berikut ini:Zλ = c - g (x1, x2, ..., xn) = 0
Z1 = f1 - λg1 = 0
Z2 = f2 - λg2 = 0
...........................
Zn = fn - λgn = 0
Sekali lagi, persamaan pertama menjamin bahwa kendalanya akan dipenuhi, sekalipun kita akan memusatkan perhatian pada fungsi Lagrange yang bebas (Chiang, 2005: 333).
Jika ada lebih dari satu kendala, metode pengali-Lagrange tetap dapat dipakai dengan menciptakan pengali sebanyak kendala yang terdapat di dalam fungsi Lagrangian. Misalnya, ada fungsi n-variabel secara simultan di dalam dua kendala,
g (x1, x2, ..., xn) = c dan h (x1, x2, ..., xn) = d
Kemudian, dengan λ dan μ (huruf latin mu) sebagai dua pengali tak tentu, kita dapat membentuk fungsi Lagrangian sebagai berikut:
Z = f (x1, x2, ..., xn) + λ [c - g (x1, x2, ..., xn)] + μ [d - h (x1, x2, ..., xn)]
Fungsi tersebut akan memiliki nilai yang sama seperti fungsi objektif f yang semula jika kedua kendala terpenuhi, yaitu jika kedua suku terakhir dalam Lagrangian = 0. Dengan menganggap λ dan μ sebagai variabel pilihan, kita sekarang mempunyai (n + 2) variabel.
Jadi, kondisi orde-pertama dalam hal ini akan terdiri dari (n + 2) persamaan simultan berikut ini:
Zλ = c - g (x1, x2, ..., xn) = 0
Zμ = d - h (x1, x2, ..., xn) = 0
Zi = fi - λgi - μhi = 0 (i = 1, 2, ..., n)
Secara formal, hal ini akan memungkinkan kita untuk memecahkan semua xi, sama halnya seperti λ dan μ. Seperti sebelumnya, dua persamaan pertama dari kondisi yang diperlukan (necessary condition) hanyalah merupakan pernyataan kembali dari kedua kendala.
Gambar oleh Gerd Altmann dari Pixabay
