Model Fungsi Umum
Situsekonomi.com - Persoalan penentuan input menggambarkan kasus di mana formulasi fungsi umum meliputi beberapa parameter -- sebenarnya, tidak kurang dari lima (P0, Pa0, Pb0, r, dan t) di mana subskrip 0 dari variabel eksogen r0 dan t0 dihilangkan. Bagaimana kita peroleh sifat statis komparatif dari model ini?
Chiang (2005: 322) menjawab, bahwa hal itu terletak pada penggunaan dalil fungsi implisit. Namun, tidak seperti kasus model ekuilibrium tanpa tujuan dari pasar atau kasus penentuan pendapatan nasional, di mana kita berusaha mencari kondisi ekuilibrium model, konteks terkini dari ekuilibrium tujuan menentukan bahwa kita berusaha memenuhi syarat orde pertama optimisasi. Dengan mengumpulkan semua suku dalam
P0Qae-rt = Pa0 dan P0Qbe-rt = Pb0 (1.1)
ke sebelah kiri dari tanda sama dengan, secara eksplisit dapat dinyatakan bahwa Qa dan Qb, keduanya merupakan fungsi variabel (pilihan) endogen a dan b, maka kita dapat menulis kembali syarat orde pertama sebagai berikut:
F1 (a, b; P0, Pa0, Pb0, r, t) = P0Qa(a, b) e-rt - Pa0 = 0
F2 (a, b; P0, Pa0, Pb0, r, t) = P0Qb(a, b) e-rt - Pb0 = 0 (1.2)
Fungsi F1 dan F2 diasumsikan mempunyai derivatif yang kontinu. Jadi, memungkinkan untuk menggunakan dalil fungsi implisit, menghasilkan Jacobian dari sistem terhadap variabel endogen a dan b yang tidak nol pada ekuilibrium semula. Jacobian tersebut ternyata tidak menghasilkan apa-apa kecuali determinan Hessian dari fungsi π:
Oleh karena itu, jika kita asumsikan bahwa syarat cukup orde kedua untuk memaksimumkan laba dipenuhi, maka |H| harus positif, dan demikian pula |J|, pada ekuilibrium semula atau optimum. Dengan demikian, dalil fungsi implisit akan memungkinkan kita untuk menulis pasangan fungsi implisit sebagai berikut:
a* = a*(P0, Pa0, Pb0, r, t)
b* = b*(P0, Pa0, Pb0, r, t) (1.4)
dan juga pasangan identitas
P0Qa(a*, b*)e-rt - Pa0 ≡ 0
P0Qb(a*, b*)e-rt - Pb0 ≡ 0 (1.5)
Untuk menelaah statis komperatif dari model, pertama-tama ambillah diferensial total dari tiap identitas dalam (1.5). Untuk sementara, kita akan perbolehkan semua variabel eksogen bervariasi, shingga hasil diferensiasi total akan melibatkan da*, db*, juga dP0, dPa0, dPb0, dr, dan dt (Chiang, 2005: 323).
Jika pada sisi kiri tanda persamaan kita hanya menempatkan suku-suku yang melibatkan da* dan db*, hasilnya akan menjadi
di mana, Anda perlu perhatikan bahwa derivatif pertama dan kedua dari Q semuanya dievaluasi pada ekuilibrium, misalnya pada a* dan b*. Anda juga perhatikan bahwa koefisien da* dan db* pada sebelah kiri, tepat merupakan elemen-elemen Jacobian dalam (1.3).
Untuk memperoleh derivatif statis komparatif yang khusus -- di mana secara total berjumlah sepuluh (mengapa?) -- kini kita hanya akan memperkenankan satu variabel eksogen untuk sekali saja bervariasi. Misalkan hanya P0 yang bervariasi, maka dP0 ≠ 0, tetapi dPa0 = dPb0 = dr = dt = 0, sehingga hanya suku pertama yang tetap pada sisi kanan dari tiap persamaan dalam (1.6).
Dengan membaginya dengan dP0, dan mengartikan rasio da*/dP0 sebagai derivatif statis komparatif (∂a*/∂P0), dan sama halnya untuk rasio db*/dP0, kita dapat menulis persamaan matriks sebagai berikut:
Pemecahannya, sesuai dengan aturan Cramer, adalah sebagai berikut
Jika Anda mau, tersedia metode alternatif lain untuk mendapatkan hasil-hasil ini: Anda cukup mendiferensiasikan kedua identitas dalam (1.5) secara total terhadap P0 (sementara mempertahankan keempat variabel eksogen lainnya tetap). Ingatlah bahwa P0 dapat mempengaruhi a* dan b* melalui (1.4).
Sekarang, marilah kita menganalisis tanda derivatif statis komparatif dalam (1.7). Dengan asumsi bahwa syarat cukup orde kedua dipenuhi, Jacobian sebagai penyebut harus positif (Chiang, 2005: 324).
Syarat orde kedua juga menjelaskan bahwa Qaa dan Qbb negatif, sebagaimana halnya syarat orde pertama yang menjelaskan bahwa Qa dan Qb positif. Selain itu, ekspresi P0e-2rt tentu positif.
Jadi, jika Qab > 0 (jika menaikkan satu input akan menaikkan MPP dari input lain), maka dapat kita simpulkan bahwa keduanya (∂a*/∂P0) dan juga (∂b*/∂P0) akan positif, yang berarti bahwa kenaikan harga produk akan mengakibatkan kenaikan penggunaan kedua input dalam ekuilibrium. Sebaliknya, jika Qab < 0, tanda tiap derivatif dalam (1.7) akan tergantung pada kekuatan relatif dari negatif dan positif dalam ekspresi yang bertanda kurung di sebelah kanan.
Selanjutnya, misalkan hanya variabel eksogen r saja yang bervariasi, maka semua suku di sebelah kanan dari (1.6) akan sama dengan nol kecuali yang mengandung dr. Dengan membaginya dengan dr ≠ 0, sekarang kita peroleh persamaan matriks berikut:
dengan penyelesaian
Kedua derivatif statis komparatif ini akan negatif jika Qab positif, tetapi tidak dapat dipastikan tandanya bila Qab negatif.
Dengan prosedur yang sama, kita dapatkan pengaruh perubahan dalam parameter lainnya. Sebenarnya, mengingat bahwa kesimetrisan antara r dan t dalam (1.5), jelas bahwa (∂a*/∂t) dan (∂b*/∂t) keduanya harus sama dalam (1.8).
Efek perubahan dalam Pa0 dan Pb0 harus Anda analisis sendiri. Seperti Anda akan lihat, pembatasan tanda dari syarat cukup orde kedua, kembali akan berguna untuk mengevaluasi derivatif statis komparatif, karena ini dapat menjelaskan kepada kita tanda-tanda dari Qaa dan Qbb, demikian juga Jacobian |J| pada ekuilibrium semula (optimum). Jadi, selain membedakan antara maksimum dan minimum, syarat orde kedua juga mempunyai peranan penting dalam mempelajari pergeseran posisi ekuilibrium.
Untuk memperoleh derivatif statis komparatif yang khusus -- di mana secara total berjumlah sepuluh (mengapa?) -- kini kita hanya akan memperkenankan satu variabel eksogen untuk sekali saja bervariasi. Misalkan hanya P0 yang bervariasi, maka dP0 ≠ 0, tetapi dPa0 = dPb0 = dr = dt = 0, sehingga hanya suku pertama yang tetap pada sisi kanan dari tiap persamaan dalam (1.6).
Dengan membaginya dengan dP0, dan mengartikan rasio da*/dP0 sebagai derivatif statis komparatif (∂a*/∂P0), dan sama halnya untuk rasio db*/dP0, kita dapat menulis persamaan matriks sebagai berikut:
Jika Anda mau, tersedia metode alternatif lain untuk mendapatkan hasil-hasil ini: Anda cukup mendiferensiasikan kedua identitas dalam (1.5) secara total terhadap P0 (sementara mempertahankan keempat variabel eksogen lainnya tetap). Ingatlah bahwa P0 dapat mempengaruhi a* dan b* melalui (1.4).
Sekarang, marilah kita menganalisis tanda derivatif statis komparatif dalam (1.7). Dengan asumsi bahwa syarat cukup orde kedua dipenuhi, Jacobian sebagai penyebut harus positif (Chiang, 2005: 324).
Syarat orde kedua juga menjelaskan bahwa Qaa dan Qbb negatif, sebagaimana halnya syarat orde pertama yang menjelaskan bahwa Qa dan Qb positif. Selain itu, ekspresi P0e-2rt tentu positif.
Jadi, jika Qab > 0 (jika menaikkan satu input akan menaikkan MPP dari input lain), maka dapat kita simpulkan bahwa keduanya (∂a*/∂P0) dan juga (∂b*/∂P0) akan positif, yang berarti bahwa kenaikan harga produk akan mengakibatkan kenaikan penggunaan kedua input dalam ekuilibrium. Sebaliknya, jika Qab < 0, tanda tiap derivatif dalam (1.7) akan tergantung pada kekuatan relatif dari negatif dan positif dalam ekspresi yang bertanda kurung di sebelah kanan.
Selanjutnya, misalkan hanya variabel eksogen r saja yang bervariasi, maka semua suku di sebelah kanan dari (1.6) akan sama dengan nol kecuali yang mengandung dr. Dengan membaginya dengan dr ≠ 0, sekarang kita peroleh persamaan matriks berikut:
Dengan prosedur yang sama, kita dapatkan pengaruh perubahan dalam parameter lainnya. Sebenarnya, mengingat bahwa kesimetrisan antara r dan t dalam (1.5), jelas bahwa (∂a*/∂t) dan (∂b*/∂t) keduanya harus sama dalam (1.8).
Efek perubahan dalam Pa0 dan Pb0 harus Anda analisis sendiri. Seperti Anda akan lihat, pembatasan tanda dari syarat cukup orde kedua, kembali akan berguna untuk mengevaluasi derivatif statis komparatif, karena ini dapat menjelaskan kepada kita tanda-tanda dari Qaa dan Qbb, demikian juga Jacobian |J| pada ekuilibrium semula (optimum). Jadi, selain membedakan antara maksimum dan minimum, syarat orde kedua juga mempunyai peranan penting dalam mempelajari pergeseran posisi ekuilibrium.
Gambar oleh Gerd Altmann dari Pixabay
