Interpretasi dari Pengali Lagrange
Situsekonomi.com - Dalam masalah pilihan konsumen, kita mendapatkan hasil bahwa pengali Lagrange λ mewakili perubahan pada nilai fungsi Lagrange pada saat anggaran konsumen berubah. Kita menginterpretasikan λ sebagai utilitas marjinal dari pendapatan (Chiang, 2005: 408).
Sekarang mari kita turunkan interpretasi yang lebih umum dari pengali Lagrange dengan bantuan dalil envelope. Tinjaulah masalah berikut
Z = f (x, y) + λ [c - g(x, y)] (1.1)
Syarat orde pertama adalah
Zx = fx(x, y) - λgx(x, y) = 0
Zy = fy(x, y) - λgy(x, y) = 0 (1.2)
Zλ = c - g(x, y) = 0
Dari dua persamaan pertama dalam (1.2), kita memperoleh
yang memberikan kita kondisi bahwa kemiringan dari kurva yang diratakan (kurva indiferens) dari fungsi tujuan harus sama dengan kemiringan dari kendala pada titik optimum.
Persamaan (1.2) secara implisit memberikan pemecahaan
x* = x*(c) y* = y*(c) λ* = λ*(c) (1.4)
Mensubstitusikan (1.4) kembali ke Lagrangian akan menghasilkan fungsi nilai maksimum,
V(c) = Z*(c) = f(x*(c), y*(c)) + λ*(c)[c - g(x1*(c), y*(c))] (1.5)
Mendiferensiasikannya terhadap c menghasilkan
Dengan mengatur ulang persamaan ini, kita memperoleh
Berdasarkan (1.2), ketiga suku di dalam kurung semuanya sama dengan nol. Oleh karena itu, ekspresi matematika ini dapat disederhanakan menjadi
yang menunjukkan bahwa nilai optimal λ* mengukur tingkat perubahan dari nilai maksimum fungsi tujuan ketika c berubah.
Untuk alasan ini disebut sebagai "shadow price" dari c. Perhatikan bahwa dalam kasus ini c memasuki masalah hanya melalui kendala; c bukanlah argumen dari fungsi tujuan awal (Chiang, 2005: 409).
Gambar oleh Steve Buissinne dari Pixabay
