Penjelasan tentang Distribusi t Sekaligus Dilengkapi dengan Sifat-sifatnya
Situs Ekonomi - Kalau yang sebelumnya distribusi normal merupakan distribusi probabilitas yang paling penting, maka distribusi t (distribusi Student t) adalah distribusi probabilitas yang paling sering digunakan. Sedikit kita kembali ke sejarah distribusi Student t ini, Student adalah nama samaran dari W.S. Gosset yang dulu pernah bekerja sebagai pakar statistik untuk Pabrik Bir Guinness di Dublin, Jerman. Ia menemukan distribusi probabilitas ini pada tahun 1908 (Gujarati, 2006: 77).
Distribusi ini berkaitan erat dengan distribusi normal. Untuk memperkenalkan distribusi tersebut, ingatlah bahwa apabila
Namun, andaikan kita hanya mengetahui µX saja dan menaksir σ_x^2 dengan penaksir (sampel)-nya
Teori statistik menunjukkan bahwa variabel t harus didefinisikan mengikuti distribusi Student t dengan d.k. (n - 1). Seperti halnya rata-rata dan varians yang merupakan parameter untuk distribusi normal, distribusi t mempunyai sebuah parameter, yaitu derajat kebebasan yang dalam kasus ini adalah (n - 1).
Catatan: Sebelum kita menghitung S_x^2, mula-mula kita harus menghitung X̅. Namun demikian, karena kita menggunakan sampel yang sama untuk menghitung X̅, maka kita mempunyai (n - 1), sehingga observasi independen untuk menghitung S2; boleh dikatakan bahwa kita kehilangan 1 derajat kebebasan.
Singkatnya, jika kita menarik sampel acak dari populasi normal dengan rata-rata µx dan varians σ_x^2 tetapi kita ganti σ_x^2 dengan penaksirnya S_x^2, maka rata-rata sampel X̅ mengikuti distribusi t. Variabel acak yang didistribusikan menurut distribusi t sering dinotasikan dengan tk, di mana k menyatakan derajat kebabasan. Gujarati (2006: 78) menyarankan agar tidak keliru dengan ukuran sampel n, sebaiknya gunakan indeks bawah k guna menyatakan bentuk umum dari derajat kebebasan.
Sebagai pelengkap dari postingan ini, saya akan lampirkan dua sifat yang berkaitan dengan distribusi t. Berikut ulasannya:
- Distribusi t, seperti halnya distribusi normal, berbentuk simetris, sebagaimana yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
- Rata-rata distribusi t, seperti halnya distribusi normal standar, adalah nol, tetapi variansnya adalah k/(k - 2). Oleh karena itu, varians dari distribusi t didefinisikan untuk d.k. lebih dari 2.
Sejauh ini kita telah mengetahui bahwa untuk distribusi normal standar variansnya selalu 1, yang berarti bahwa varians distribusi t lebih besar dibandingkan dengan varians distribusi normal standar, sebagaimana yang terlihat pada gambar di atas. Dengan kata lain, distribusi t lebih datar daripada distribusi normal.
Tetapi, begitu k bertambah, maka varians distribusi t akan mendekati varians distribusi normal standar, yakni 1. Jadi, jika derajat kebebasan k = 10, varians distribusi t adalah 10/8 = 1,25; jika k = 30, varians menjadi 30/28 = 1,07; dan jika k = 100, variansnya menjadi 100/98 = 1,02, yang hanya lebih besar sedikit daripada 1.
Akibatnya, bila derajat kebebasan bertambah, maka distribusi t akan mendekati distribusi normal standar. Tetapi perhatikanlah bahwa untuk k yang kecil sekalipun, misalnya 30, selisih antara varians distribusi t dengan varians distribusi normal standar tidaklah besar. Oleh karena itu, ukuran sampel tidak harus sedemikian besar agar distribusi t mendekati distribusi normal.
