6 Sifat Distribusi Normal dan Contoh Perhitungannya
Mungkin distribusi porbabilitas yang paling penting menyangkut v.a. (variabel acak) yang bersifat kontinu adalah distribusi normal. Bentuknya yang menyerupai lonceng agaknya cukup dikenal oleh setiap orang yang memiliki sedikit pengetahuan tentang statistik.
 |
| Gambar 1.1 FKP dari Variabel Acak yang Bersifat Kontinu |
Gujarati (2007) mengatakan bahwa distribusi normal merupakan model yang cukup baik bagi variabel acak yang bersifat kontinu yang nilainya tergantung pada sejumlah faktor. Jadi, pertimbangkanlah variabel acak berat badan!
Variabel ini kemungkinan besar didistribusikan secara normal karena faktor-faktor seperti keturunan, struktur tulang, diet, dan olahraga diperkirakan mempunyai pengaruh terhadap berat badan. Tidak ada satu faktor pun yang pengaruhnya lebih besar daripada faktor-faktor tersebut.
Demikian pula variabel-variabel seperti tinggi badan dan peringkat rata-rata kelas juga diketahui didistribusikan secara normal. Untuk memudahkan dalam memberi notasi, nyatakan saja variabel acak X yang didistribusikan secara normal sebagai:
Di sini, N dinyatakan sebagai distribusi normal dan notasi di dalam tanda kurung dinyatakan sebagai parameter distribusi. Jadi, perhatikanlah bahwa X merupakan variabel acak yang bersifat kontinu dan memiliki nilai antara -∞ sampai ∞.
Adapun sifat-sifat dari distribusi normal adalah sebagai berikut:
1). Kurva distribusi normal, sebagaimana yang ditunjukkan pada Gambar 1.1, memiliki titik yang simetris di sekitar nilai rata-ratanya µx.
2). FKP (fungsi kepadatan probabilitas) dari variabel acak yang didistribusikan secara normal memiliki titik tertinggi sebesar nilai rata-ratanya, tetapi memiliki titik terendah pada bagian kakinya. Dengan kata lain, makin jauh dari nilai rata-ratanya maka nilai tersebut semakin lama makin kecil.
3). Sebagaimana yang ditunjukkan pada Gambar 1.2, sekitar 68 persen dari luas daerah di bawah kurva normal terletak di antara nilai-nilai (µx ± σx). Kira-kira, 95 persen dari luas wilayah tadi terletak di antara (µx ± 2σx) dan 99,7 persen dari luas wilayah tadi terletak di antara (µx ± 3σx).
 |
| Gambar 1.2 Luas Daerah di Bawah Kurva Normal |
4). Distribusi normal ditentukan sepenuhnya oleh kedua parameternya, yaitu µx dan σ_x^2. Sebenarnya, untuk menghitung probabilitas dari X terdapat rumus matematikanya. Namun, untungnya hal itu tidak diperlukan karena pakar ekonometri telah menyediakan tabel tersendiri mengenai hal ini.
5). Kombinasi linear (fungsi) dari dua (atau lebih) variabel acak yang didistribusikan secara normal akan dengan sendirinya didistribusikan secara normal. Ini merupakan sifat terpenting dari distribusi normal dalam ekonometrika.
Guna mengilustrasikannya, maka misalkan:
Kemudian, X dan Y diasumsikan tidak terikat satu sama lain. Ingatlah bahwa dua variabel didistribusikan secara normal apabila FKP (FMP) gabungan kedua variabel itu merupakan hasil kali dari FKP marjinal tiap-tiap variabel, dalam hal ini f(X, Y) = f(X) f(Y) untuk semua nilai X dan Y.
di mana
Perhatikan bahwa dalam persamaan (1.3) menggunakan beberapa sifat operator nilai harapan E dan varians dari variabel acak yang tidak terikat satu sama lain. Sedangkan untuk persamaan (1.2) dapat diperluas secara langsung menjadi kombinasi linear dari lebih dua variabel acak normal.
6). Pada distribusi normal, kemencengan (S)-nya adalah nol, sedangkan peruncingan (K)-nya adalah 3.
Contoh:
Misalkan X adalah jumlah Laptop Lenovo yang terjual tiap harinya di Toko Acer dan Y jumlah Laptop Lenovo yang terjual tiap harinya di Toko Lenovo. Asumsikan bahwa X atau Y didistribusikan secara normal tanpa saling terikat satu sama lain, di mana X ~ N (100, 64) dan Y ~ N (150, 81).
Lalu, berapakah nilai rata-rata Laptop Lenovo yang terjual dalam dua hari di kedua toko elektonik tersebut beserta dengan varians dari penjualannya? Di sini, W = 2X + 2Y. Berdasarkan persamaan (1.3) diperoleh E(W) = E(2X + 2Y) = 500 dan var (W) = 4 var(X) + 4 var(Y) = 580.
Dengan demikian, W didistribusikan secara normal dengan nilai rata-rata 500 dan varians 580: [W ~ N(500, 580)]. Demikianlah pembahhasan tentang 6 sifat distribusi normal dan contoh perhitungannya.
