Dalil Fungsi Implisit dalam Persamaan Lingkaran
Situs Ekonomi - Suatu fungsi yang diberikan dalam bentuk y = f(x), katakanlah,
Sebaliknya, fungsi (1.1) hanya secara implisit didefinisikan oleh persamaan (1.1'). Oleh karena itu, jika yang (satu-satunya) diberikan adalah persamaan dalam bentuk (1.1'), fungsi y = f(x) yang disiratkan oleh persamaan ini, dan yang bentuk spesifiknya mungkin saja sama sekali tidak kita ketahui, maka disebut sebagai fungsi implisit.
Suatu persamaan dalam bentuk (1.1') dapat dinyatakan dalam bentuk umum F(y, x) = 0, karena ruas kirinya merupakan fungsi dari dua variabel y dan x. Perhatikan bahwa di sini kita menggunakan huruf (besar) F untuk membedakannya dari fungsi f; fungsi F, mewakili pernyataan ruas kiri dalam (1.1'), mempunyai dua argumen, y dan x, sedangkan fungsi f, mewakili fungsi implisit, hanya mempunyai satu argumen, x.
Tentu saja bisa ada lebih dari dua argumen dalam fungsi F. Sebagai contoh, kita dapat menjumpai persamaan F(y, x1, ..., xm) = 0. Persamaan seperti itu bisa juga mendefinisikan fungsi implisit y = f(x1, ..., xm).
Kata bermakna ganda "bisa" (may) dalam kalimat terakhir digunakan setelah dipertimbangkan secara matang. Karena, walaupun fungsi eksplisit, katakanlah y = f(x), selalu dapat diubah menjadi persamaan F(y, x) = 0 cukup dengan memindahkan persamaan f(x) ke kiri tanda sama dengan, perubahan sebaliknya tidak selalu mungkin.
Memang, dalam kasus-kasus tertentu, suatu persamaan berbentuk F(y, x) = 0 tidak bisa mendefinisikan fungsi y = f(x) secara implisit. Sebagai contoh, persamaan x2 + y2 = 0 terpenuhi hanya pada titik asal (0, 0), sehingga tidak memiliki fungsi yang layak dibahas.
Satu contoh lain, persamaan
Demikian juga, setengah lingkaran bagian bawah, dengan nilai y yang nonpositif, juga merupakan fungsi, y = -√(9 - x2 ). Sebaliknya, baik setengah lingkaran bagian kiri maupun bagian kanan bukan merupakan suatu fungsi.
Karena ketidakpastian ini, kita tertarik untuk mengetahui apakah ada syarat-syarat umum yang harus dipenuhi agar kita dapat memastikan bahwa suatu persamaan yang memiliki bentuk
Kemudian kita catat bahwa Fy adalah tidak sama dengan nol kecuali jika y = 0, yakni pada titik paling kiri (-3, 0) dan titik paling kanan (3, 0) pada lingkaran. Jadi, di sekitar titik manapun pada lingkaran kecuali (-3, 0) dan (3, 0), kita dapat membentuk suatu neighborhood yang mana di daerah ini persamaan (1.2) membentuk fungsi implisit y = f(x).
Hal ini dengan mudah dapat diperiksa pada Gambar yang telah disajikan di atas, di mana kita memang bisa mengilustrasikan, katakanlah, empat persegi panjang di sekitar titik manapun pada lingkaran -- kecuali (-3, 0) dan (3, 0) -- sedemikian rupa. Oleh karenanya, bagian dari lingkaran yang tercakup di dalamnya akan membentuk grafik fungsi, dengan nilai tunggal y untuk setiap nilai x dalam empat persegi panjang tersebut.
Beberapa hal harus diperhatikan tentang dalil fungsi implisit. Pertama, syarat-syarat yang dinyatakan dalam dalil tersebut merupakan syarat yang cukup (tetapi bukan merupakan syarat perlu).
Hal tersebut berarti bahwa bila kita ternyata menemukan Fy = 0 pada titik yang memenuhi (1.3), kita tidak dapat menggunakan dalil tersebut untuk menyangkal adanya fungsi implisit di sekitar titik tersebut. Karena fungsi seperti itu sebenarnya bisa saja ada.
Kedua, meskipun fungsi implisit f dipastikan ada, dalil tersebut tidak memberikan satu petunjukpun tentang bentuk spesifik dari fungsi f. Dalil ini juga tidak menjelaskan dengan pasti seberapa besar neighborhood N di mana fungsi implisit yang bersangkutan didefinisikan.
Namun terlepas dari keterbatasan tersebut, dalil yang telah diterangkan barusan sangatlah penting. Karena jika syarat-syarat dalil ini dipenuhi, kita akan bisa berbicara tentang penggunaan suatu fungsi seperti pada (1.4), meskipun model kita bisa saja mengandung persamaan (1.3) yang sukar bahkan mustahil bagi kita untuk memperoleh solusi eksplisit y yang dinyatakan dalam variabel x. Selain itu, karena dalil tersebut juga menjamin adanya derivatif parsial f1, ..., fm, kita pun sekarang bisa berbicara tentang derivatif-derivatif ini dari fungsi implisitnya.
y = f(x) = 3x4 (1.1)
disebut fungsi eksplisit (explicit function), karena variabel y secara eksplisit dinyatakan sebagai fungsi x. Namun, bila fungsi ini ditulis dengan cara lain dalam bentuk yang ekuivalen
y - 3x4 = 0 (1.1')
kita tidak lagi menyebutnya sebagai fungsi eksplisit (Chiang, 2005; 184).Sebaliknya, fungsi (1.1) hanya secara implisit didefinisikan oleh persamaan (1.1'). Oleh karena itu, jika yang (satu-satunya) diberikan adalah persamaan dalam bentuk (1.1'), fungsi y = f(x) yang disiratkan oleh persamaan ini, dan yang bentuk spesifiknya mungkin saja sama sekali tidak kita ketahui, maka disebut sebagai fungsi implisit.
Suatu persamaan dalam bentuk (1.1') dapat dinyatakan dalam bentuk umum F(y, x) = 0, karena ruas kirinya merupakan fungsi dari dua variabel y dan x. Perhatikan bahwa di sini kita menggunakan huruf (besar) F untuk membedakannya dari fungsi f; fungsi F, mewakili pernyataan ruas kiri dalam (1.1'), mempunyai dua argumen, y dan x, sedangkan fungsi f, mewakili fungsi implisit, hanya mempunyai satu argumen, x.
Tentu saja bisa ada lebih dari dua argumen dalam fungsi F. Sebagai contoh, kita dapat menjumpai persamaan F(y, x1, ..., xm) = 0. Persamaan seperti itu bisa juga mendefinisikan fungsi implisit y = f(x1, ..., xm).
Kata bermakna ganda "bisa" (may) dalam kalimat terakhir digunakan setelah dipertimbangkan secara matang. Karena, walaupun fungsi eksplisit, katakanlah y = f(x), selalu dapat diubah menjadi persamaan F(y, x) = 0 cukup dengan memindahkan persamaan f(x) ke kiri tanda sama dengan, perubahan sebaliknya tidak selalu mungkin.
Memang, dalam kasus-kasus tertentu, suatu persamaan berbentuk F(y, x) = 0 tidak bisa mendefinisikan fungsi y = f(x) secara implisit. Sebagai contoh, persamaan x2 + y2 = 0 terpenuhi hanya pada titik asal (0, 0), sehingga tidak memiliki fungsi yang layak dibahas.
Satu contoh lain, persamaan
F(y, x) = x2 + y2 - 9 = 0 (1.2)
tidak menyiratkan suatu fungsi, melainkan suatu relasi, karena plot untuk (1.2) adalah lingkaran, seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas, sehingga tidak ada satu nilai y tunggal untuk setiap nilai x. Namun, perhatikan bahwa bila kita membatasi y hanya pada nilai yang tidak negatif, kita akan mempunyai setengah lingkaran di bagian atas saja, dan ini merupakan fungsi, yakni y = +√(9 - x2 ).Demikian juga, setengah lingkaran bagian bawah, dengan nilai y yang nonpositif, juga merupakan fungsi, y = -√(9 - x2 ). Sebaliknya, baik setengah lingkaran bagian kiri maupun bagian kanan bukan merupakan suatu fungsi.
Karena ketidakpastian ini, kita tertarik untuk mengetahui apakah ada syarat-syarat umum yang harus dipenuhi agar kita dapat memastikan bahwa suatu persamaan yang memiliki bentuk
F(y, x1, ..., xm) = 0 (1.3)
memang mendefinisikan suatu fungsi implisit
y = f(x1, ..., xm) (1.4)
di tempat tertentu, atau di sekitar suatu titik tertentu dalam domain. Jawabannya terdapat dalam apa yang disebut sebagai "dalil fungsi-implisit," yang menyatakan bahwa:Apabila (1.3) diketahui, jika (a) fungsi F mempunyai derivatif -derivatif parsial yang kontinu Fy, F1, ..., Fm, dan jika (b) pada suatu titik (y0, x10, ..., xm0) yang memenuhi persamaan (1.3), Fy tidak sama dengan nol, maka terdapat suatu neighborhood (himpunan terbuka yang mengandung sebuah titik yang sudah diketahui) (x10, ..., xm0) yang berdimensi-m, yaitu N, di mana dalam neighborhood ini y merupakan fungsi dari variabel x1, ..., xm yang memiliki bentuk (1.4). Fungsi implisit ini memenuhi y0 = f(x10, ..., xm0. Fungsi ini juga memenuhi persamaan (1.3) untuk setiap m-tuple (x1, ..., xm) dalam neighborhood N, sehingga memberikan kepada (1.3) status sebagai identitas dalam neighborhood tersebut. Selain itu, fungsi implisit f adalah fungsi kontinu dan mempunyai derivatif parsial f1, ..., fm yang kontinu (Chiang, 2005: 185).Mari kita menerapkan dalil ini terhadap persamaan lingkaran, (1.2), yang hanya terkandung satu variabel x. Pertama, kita dapat membuktikan bahwa Fy = 2y dan Fx = 2x adalah kontinu, sebagaimana mestinya.
Kemudian kita catat bahwa Fy adalah tidak sama dengan nol kecuali jika y = 0, yakni pada titik paling kiri (-3, 0) dan titik paling kanan (3, 0) pada lingkaran. Jadi, di sekitar titik manapun pada lingkaran kecuali (-3, 0) dan (3, 0), kita dapat membentuk suatu neighborhood yang mana di daerah ini persamaan (1.2) membentuk fungsi implisit y = f(x).
Hal ini dengan mudah dapat diperiksa pada Gambar yang telah disajikan di atas, di mana kita memang bisa mengilustrasikan, katakanlah, empat persegi panjang di sekitar titik manapun pada lingkaran -- kecuali (-3, 0) dan (3, 0) -- sedemikian rupa. Oleh karenanya, bagian dari lingkaran yang tercakup di dalamnya akan membentuk grafik fungsi, dengan nilai tunggal y untuk setiap nilai x dalam empat persegi panjang tersebut.
Beberapa hal harus diperhatikan tentang dalil fungsi implisit. Pertama, syarat-syarat yang dinyatakan dalam dalil tersebut merupakan syarat yang cukup (tetapi bukan merupakan syarat perlu).
Hal tersebut berarti bahwa bila kita ternyata menemukan Fy = 0 pada titik yang memenuhi (1.3), kita tidak dapat menggunakan dalil tersebut untuk menyangkal adanya fungsi implisit di sekitar titik tersebut. Karena fungsi seperti itu sebenarnya bisa saja ada.
Kedua, meskipun fungsi implisit f dipastikan ada, dalil tersebut tidak memberikan satu petunjukpun tentang bentuk spesifik dari fungsi f. Dalil ini juga tidak menjelaskan dengan pasti seberapa besar neighborhood N di mana fungsi implisit yang bersangkutan didefinisikan.
Namun terlepas dari keterbatasan tersebut, dalil yang telah diterangkan barusan sangatlah penting. Karena jika syarat-syarat dalil ini dipenuhi, kita akan bisa berbicara tentang penggunaan suatu fungsi seperti pada (1.4), meskipun model kita bisa saja mengandung persamaan (1.3) yang sukar bahkan mustahil bagi kita untuk memperoleh solusi eksplisit y yang dinyatakan dalam variabel x. Selain itu, karena dalil tersebut juga menjamin adanya derivatif parsial f1, ..., fm, kita pun sekarang bisa berbicara tentang derivatif-derivatif ini dari fungsi implisitnya.
