Diferensial dan Elastisitas Titik
Gambar 1.1
Dengan menggunakan ide aproksimasi yang dijelaskan pada gambar di atas, kita dapat mengganti perubahan independen ∆P dan perubahan dependen ∆Q masing-masing dengan diferensial dP dan dQ. Hal ini bertujuan untuk mendapatkan aproksimasi ukuran elastisitas yang disebut sebagai elastisitas titik permintaan (point elasticity of demand), yang diberi simbol εd (elastisitas):
Perhatikan bahwa pada bagian paling kanan dari persamaan, kita telah menyusun kembali diferensial dQ dan dP dalam bentuk rasio dQ/dP yang dapat diartikan sebagai derivatif, atau fungsi marjinal, dari fungsi permintaan Q = f(P). Karena kita juga dapat menginterpretasikan rasio Q/P dalam penyebut sebagai fungsi rata-rata dari permintaan, elastisitas titik permintaan εd dalam (1.1) dipahami sebagai rasio fungsi marjinal terhadap fungsi rata-rata dari fungsi permintaan (Chiang, 2006).
Memang, hubungan yang terakhir ini berlaku tidak hanya untuk fungsi permintaan tetapi juga untuk setiap fungsi lainnya. Karena untuk semua fungsi total y = f(x), kita dapat menuliskan rumus untuk elastisitas titik dari y terhadap x sebagai
Sebagaimana yang disepakati, nilai ukuran elastisitas absolut digunakan dalam menentukan apakah fungsi tersebut elastis pada suatu titik tertentu. Dalam fungsi permintaan, misalnya, kita menerapkan bahwa
Contoh 1:
Di lain sisi, jika P = 30, kita peroleh |εd| = 1,5; jadi permintaannya adalah elastis pada harga tersebut. Lebih umumnya lagi, kita dapat membuktikannya bahwa |εd| > 1 untuk 25 < P < 50 dan |εd| < 1 untuk 0 < P < 25 dalam contoh ini.
Sebagaimana yang disepakati, nilai ukuran elastisitas absolut digunakan dalam menentukan apakah fungsi tersebut elastis pada suatu titik tertentu. Dalam fungsi permintaan, misalnya, kita menerapkan bahwa
Carilah εd jika fungsi permintaan adalah Q = 100 - 2P. Fungsi marjinal dan fungsi rata-rata dari fungsi permintaan ini adalah
sehingga perbandingannya akan memberikan kepada kita
Elastisitas merupakan fungsi dari P. Namun, begitu harga tertentu dipilih, elastisitas titik ini dapat ditentukan nilainya. Jika P = 25, misalnya kita peroleh εd = -1, atau |εd| = 1, sehingga elastisitas permintaan adalah satu pada titik tersebut.
Elastisitas merupakan fungsi dari P. Namun, begitu harga tertentu dipilih, elastisitas titik ini dapat ditentukan nilainya. Jika P = 25, misalnya kita peroleh εd = -1, atau |εd| = 1, sehingga elastisitas permintaan adalah satu pada titik tersebut.
Di lain sisi, jika P = 30, kita peroleh |εd| = 1,5; jadi permintaannya adalah elastis pada harga tersebut. Lebih umumnya lagi, kita dapat membuktikannya bahwa |εd| > 1 untuk 25 < P < 50 dan |εd| < 1 untuk 0 < P < 25 dalam contoh ini.
Contoh 2:
Carilah elastisitas titik penawaran εs dari fungsi penawaran Q = P2 + 7P, dan tentukan apakah penawaran akan elastis pada P = 2. Karena fungsi marjinal dan fungsi rata-ratanya masing-masing adalah
rasio keduanya memberikan kepada kita elastisitas penawaran
Jika P = 2, elastisitas ini memiliki nilai 11/9 > 1; jadi penawaran elastis pada P = 2.
Gambar 1.2
Dengan risiko penyimpangan yang kecil, dapat ditambahkan juga di sini bahwa mengartikan rasio dari dua diferensial sebagai derivatif memungkinkan kita menentukan elastisitas titik secara cepat, yaitu dengan grafik. Kedua diagram yang terdapat pada Gambar 1.2 menunjukkan kasus kurva dengan kemiringan negatif (negatively sloped) dan dengan kemiringan positif (positively sloped).
Dalam setiap kasus, nilai fungsi marjinal di titik A pada kurva, atau pada x = x0 dalam domain, diukur oleh kemiringan garis singgung AB. Di lain pihak, nilai fungsi rata-rata dalam setiap kasus diukur oleh kemiringan garis OA karena pada titik A kita mempunyai y = x0A dan x = Ox0, sehingga rata-ratanya adalah y/x = x0A/Ox0 = kemiringan OA.
Jadi, elastisitas pada titik A secara mudah dapat diketahui dengan membandingkan nilai-nilai numerik dari kedua kemiringan yang bersangkutan: Jika AB lebih curam daripada OA, maka fungsi akan elastis pada titik A; jika sebaliknya, fungsi akan inelastis pada A. Dengan demikian, fungsi yang diperlihatkan pada Gambar 1.2a akan inelastis pada A (atau pada x = x0), sedangkan pada Gambar 1.2b akan elastis pada A.
Selain itu, kedua kemiringan yang dibandingkan tergantung langsung terhadap masing-masing sudutnya, θm dan θa (huruf Yunani thetha: subskrip m dan a masing-masing menunjukkan marjinal dan rata-rata). Jadi, kita juga dapat membandingkan kedua sudut ini dan bukan kedua kemiringannya.
Dengan melihat kembali Gambar 1.2, kita dapat mengamati bahwa θm < θa pada titik A dalam diagram a, yang menerangkan bahwa nilai numerik marjinal lebih kecil daripada nilai rata-rata; jadi fungsi akan inelastis pada titik A. Kebalikannya berlaku untuk diagram b.
Gambar 1.3
Terkadang, kita ingin mengetahui letak titik dengan elastisitas sebesar satu pada suatu kurva. Sekarang, kita dapat melakukannya dengan mudah. Bila kurvanya mempunyai kemiringan yang negatif, seperti yang tampak pada Gambar 1.3a, kita harus mencari titik C sedemikian rupa sehingga OC dan garis singgung BC membuat sudut yang sama besar terhadap sumbu x, meskipun arahnya berlawanan. Dalam kasus kurva dengan kemiringan yang positif, seperti pada Gambar 1.3b, kita tinggal mencari sebuah titik C sedemikian rupa sehingga garis singgung di C, jika diperpanjang, akan melewati titik asal.
Anda harus ingat bahwa metode grafik yang baru saja dijelaskan didasarkan pada asumsi bahwa fungsi y = f(x) dibuat plotnya dengan variabel tidak bebas y terletak pada sumbu vertikal. Ketika menggunakan metode ini untuk kurva permintaan, kita harus memastikan bahwa Q diplot pada sumbu vertikal.
