Definisi Rank dari Suatu Matriks
Situs Ekonomi - Rank dari suatu matriks A didefinisikan sebagai bilangan maksimum dari baris-baris yang bebas secara linear dalam matriks A. Melihat hubungan di antara kebebasan baris dan determinan yang tidak nol, kita dapat mendefinisikan kembali rank dari matriks m × n sebagai tingkat maksimum dari determinan tidak nol yang dapat dibentuk dari baris-baris dan kolom-kolom matriks tersebut. Rank dari matriks manapun adalah bilangan tunggal (Chiang, 2005: 92).
Jelas, rank paling tinggi adalah m atau n, yang mana yang terkecil, karena suatu determinan hanya ditentukan untuk matriks kuadrat, dan dari matriks berdimensi, katakanlah 3 × 5, determinan terbesar yang mungkin (nol atau tidak) akan menjadi orde 3. Dalam simbol, hal ini dapat diekspresikan sebagai berikut:
r(A) ≤ min {m, n}
yang dibaca: "Rank A lebih kecil atau sama dengan minimum dari himpunan dua bilangan m dan n". Rank dari suatu matriks non-singular A, n × n, harus n; mengenai hal ini dapat dinyatakan r(A) = n.Terkadang, seseorang mungkin tertarik dengan rank dari hasil perkalian dua matriks. Dalam hal ini aturan berikut dapat diterapkan:
r(AB) ≤ min {r(A), r(B)} (1.1)
walaupun aturan ini tidak menghasilkan suatu nilai yang unik dari r(AB), penerapan dari aturan dapat mengarah ke hasil yang unik.Secara khusus, kita dapat menggunakan (1.1) untuk menunjukkan bahwa jika sebuah matriks A, dengan r(A) = j, dikalikan dengan matriks B non-singular manapun, rank dari matriks hasil AB (atau BA, seperti yang mungkin terjadi dalam beberapa kasus), harus j. Kita akan membuktikan hal ini untuk hasil AB (dalam kasus di mana BA analog).
Pertama-tama, dengan melihat sisi kanan dari (1.1), kita hanya melihat tiga kasus yang memungkinkan: (i) r(A) < r(B), (ii) r(A) = r(B), dan (iii) r(A) > r(B). Untuk kasus (i) dan (ii), (1.1) disingkat menjadi r(AB) ≤ r(A) = j.
Untuk kasus (iii), kita menemukan bahwa r(AB) ≤ r(B) < r(A) = j. Oleh karena itu, dengan kedua cara tersebut, kita akan memperoleh:
r(AB) ≤ r(A) = j (1.2).
Sekarang pertimbangkan identitas (AB)B-1 = A. Dengan (1.1), kita dapat menulis:
r[(AB)B-1] ≤ min {r(AB), r(B-1)}.
Dengan menerapkan logika yang sama yang mengarahkan kita pada (1.2), kita dapat mengambil kesimpulan bahwa:
r[(AB)B-1] ≤ r(AB).
Karena sisi kiri dari ketidakseimbangan ini sama dengan r(A) = j, kita dapat menulis:
j ≤ r(AB) (1.3)
Akan tetapi, (1.2) dan (1.3) tidak dapat dipuaskan secara simultan kecuali r(AB) = j. Oleh karena itu, rank dari matriks produk AB haruslah j, seperti yang dibuktikan (Chiang, 2005: 93).
