Determinan Matriks Kuadrat A

Situs Ekonomi - Determinan matriks kuadrat A, yang ditulis sebagai |A|, adalah bilangan skalar/konstan yang didefinisikan secara tunggal berkaitan dengan matriks tersebut. Determinan didefinisikan hanya untuk matriks kuadrat (Chiang, 2005: 83).

Matriks terkecil yang mungkin adalah tentu saja matriks 1 × 1, A = [a₁₁]. Menurut definisi, determinan sama dengan elemen tunggal a₁₁ itu sendiri: |A| = |a₁₁| = a₁₁. Simbol [a₁₁] di sini sebaiknya tidak dipertukarkan dengan simbol yang serupa mengenai nilai absolut dari satu angka.

Dalam konteks nilai absolut, misalnya, tidak hanya memiliki |5| = 5 tapi juga |-5| = -5, karena nilai absolut dari sebuah angka merupakan nilai numerik dari angka tersebut tanpa memandang nilai aljabar. Sebaliknya, simbol determinan menyimpan tanda dari elemen, jadi sementara |8| = 8 (sebagai sebuah angka positif), kita memiliki |-8| = -8 (sebuah angka negatif).

Untuk matriks 2 × 2,

determinannya didefinisikan sebagai jumlah dari kedua suku-sukunya sebagai berikut:

yang diperoleh dengan mengalikan kedua elemen dalam diagonal utama dari A dan kemudian mengurangkan hasil-kali kedua elemen tersebut. Berdasrkan dimensi matriks A, determinan |A| sebagaimana ditentukan dalam persamaan di atas, disebut determinan orde-kedua (second-order determinant).

Contoh:

Jika diketahui,

dan

maka determinannya adalah

dan

Meskipun suatu determinan (yang ditutup oleh tanda | | dan bukan oleh tanda [ ]) menurut definisi adalah skalar atau bilangan konstan, matriks seperti itu tidak mempunyai satu nilai bilangan (Chiang, 2005: 84).

Dengan kata lain, suatu determinan dapat disederhanakan menjadi bilangan, tetapi sebaliknya suatu matriks adalah satu kelompok bilangan-bilangan. Perlu ditekankan di sini bahwa determinan didefinisikan hanya untuk matriks kuadrat, sedangkan matriks seperti itu tidak perlu memiliki kuadrat.

Pada tahap pembahasan ini dimungkinkan untuk memperoleh bayangan mengenai hubungan antara ketidakbebasan linear (linear dependence) baris dalam suatu matriks A di satu pihak dengan determinannya |A| pada pihak lain. Matriks

keduanya mempunyai baris yang tidak bebas secara linear, karena c₁^’ = c₂^’ dan d₂^’ = 4d₁^’. Kedua determinannya ternyata juga sama dengan nol:

Hasil ini secara bulat menyarankan bahwa suatu determinan yang "hilang" (determinan dengan nilai nol) ada hubungannya dengan ketidakbebasan linear. Kita melihat bahwa ini memang permasalahannya. Selanjutnya, nilai determinan |A| tidak hanya dapat digunakan sebagai suatu kriteria pengujian kebebasan linear dari baris (dengan demikian nonsingular) matriks A, tetapi juga sebagai input dalam perhitungan invers A^-1, jika memang inversnya ada.

Rizki Gusnandar Kelemahan terbesar kita adalah bersandar pada kepasrahan. Jalan yang paling jelas menuju kesuksesan adalah selalu mencoba, setidaknya satu kali lagi - Thomas A. Edison.

Share :