Matriks Invers dan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Situs Ekonomi - Penggunaan konsep matriks invers dalam penyelesaian suatu sistem persamaan linear dapat mempercepat penghitungan kita. Sebelumnya, coba kita perhatikan pada sistem persamaan di bawah ini:
6x1 + 3x2 + x3 = 22
x1 + 4x2 - 2x3 = 12
4x1 - x2 + 5x3 = 10 (1.1).
Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
di mana A, x, dan d adalah sebagaimana yang didefinisikan dalam persamaan,
Sekarang, bila terdapat matriks invers A-1, perkalian kedua bagian persamaan (1.2) dengan A-1 akan menghasilkan:
A-1Ax = A-1d
atau
Ruas kiri persamaan (1.4) adalah suatu vektor kolom dari variabel. Sedangkan ruas kanannya adalah vektor kolom dari suatu bilangan yang diketahui. Jadi, menurut definisi kesamaan matriks atau vektor, (1.4) menunjukkan himpunan nilai-nilai variabel yang memenuhi sistem persamaan, yaitu nilai jawabannya (Chiang, 2005: 73).
Selanjutnya, karena A-1 bersifat unik jika invers tersebut ada, maka A-1d harus juga merupakan satu-satunya jawaban nilai vektor. Jadi, kita harus menuliskan vektor x dalam (1.4) sebagai x* untuk menunjukkan statusnya sebagai satu-satunya jawaban.
Namun, kita tidak sedang membahas mengenai pengujian adanya invers dan perhitungannya pada pembahasan kita kali ini. Bagaimanapun juga, di sini dapat dinyatakan bahwa invers matriks A dalam (1.3) adalah:
Jadi, (1.4) akan berubah menjadi,
yang memberikan jawaban: x1* = 2, x2* = 3, dan x3* = 1.
Kesimpulannya adalah bahwa sebagai salah satu cara untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear Ax = d, di mana koefisien matriks A non-singular, pertama-tama kita cari terlebih dahulu invers A-1, kemudian kita kalikan A-1 dengan vektor konstan d. Hasil perkalian A-1d akan memberikan nilai jawaban dan variabelnya.
