Hukum Komutatif, Asosiatif, dan Distributif
- Hukum komutatif dalam penjumlahan:
a + b = b + a
- Hukum komutatif dalam perkalian:
ab = ba
- Hukum asosiatif dalam penjumlahan:
(a + b) + c = a + (b + c)
- Hukum asosiatif dalam perkalian:
(ab) c = a (bc)
- Hukum distributif:
a (b + c) = ab + ac
Sebagian besar hukum ini dapat digunakan dalam operasi matriks, kecuali hukum komutatif dalam perkalian (Chiang, 2005).
Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks bersifat komutatif sekaligus asosiatif. Ini berasal dari fakta bahwa penjumlahan matriks mensyaratkan penjumlahan elemen yang bersesuaian dari dua matriks dan urutan di mana setiap pasangan elemen yang bersesuaian dijumlahkan tidaklah penting.
Dalam konteks ini, operasi pengurangan A - B dapat dianggap sebagai operasi penjumlahan A + (-B). Jadi, di sini tidak diperlukan pembahasan yang terpisah. Adapun hukum komutatif dan asosiatif dapat dinyatakan sebagai berikut:
Hukum Komutatif:
A + B = B + A
Bukti:
A + B = [aij] + [bij] = [aij + bij] = [bij + aij] = B + A
Contoh 1:
Contoh 2:
Jika diterapkan pada kombinasi linear vektor k1v1 + ... + knvn, maka hukum asosiatif mengizinkan untuk memilih setiap pasang suku agar dijumlahkan (atau dikurangkan), ketimbang mengikuti urutan di mana suku-n disusun.
Baca Juga: Peranan Penduduk dalam Pembangunan Ekonomi
Perkalian Matriks
Perkalian matriks tidak komutatif, maksudnya: AB ≠ BA. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, meskipun AB dapat didefinisikan, BA belum tentu dapat didefinisikan. Andaikan kedua perkalian ini dapat didefinisikan, aturannya tetap AB ≠ BA.
Contoh 3:
Contoh 4:
Misalkan bahwa u' adalah vektor 1 × 3 (vektor baris), maka vektor kolom yang bersesuaian dengan u harus berdimensi 3 × 1. Hasil perkalian u'u adalah matriks 1 × 1, tetapi hasil perkalian uu' adalah matriks 3 × 3. Jadi, jelas u'u ≠ uu'.
Menurut dalil umum AB ≠ BA, suku yang mengalikan (premultiply) dan yang dikalikan (postmultiply) selalu digunakan untuk menyatakan urutan perkalian. Dalam hasil perkalian AB, matriks B dikalikan oleh A (premultiplied) dan A mengalikan B (postmultiplied).
Namun, terdapat pengecualian yang menarik dalam peraturan AB ≠ BA. Salah satunya adalah jika A berupa matriks kuadrat dan B matriks identitas. Adapun yang lainnya, jika A berupa invers dari B, yakni jika A = B-1.
Namun, di sini tidak membahas kedua hal tersebut. Hal yang perlu digarisbawahi adalah perkalian skalar terhadap matriks mengikuti hukum komutatif. Jadi, jika k adalah skalar, maka
kA = Ak.
Walaupun pada umumnya tidak komutatif, perkalian matriks bersifat asosiatif.
Hukum Asosiatif:
(AB)C = A(BC) = ABC
Dalam membentuk hasil perkalian ABC, kondisi yang sesuai harus dipenuhi oleh setiap pasangan matriks yang berdekatan. Bila A adalah m × n dan bila C adalah p × q, maka persesuaian mengharuskan bahwa B menjadi n × p:
Baca Juga: Cara Mengukur Tingkat Pengangguran
Perhatikan bahwa n dan p menunjukkan indikator dimensinya tampak dua kali. Bila persyaratan kesesuaian dipenuhi, maka hukum asosiatif menyatakan pasangan matriks yang berdekatan bisa dikalikan terlebih dahulu, asalkan hasil perkaliannya diletakkan secara benar.
Contoh 5:
Dalam contoh 5, akar matriks A memiliki elemen non-nol a11 dan a22 dalam diagonal utama dan nol di tempat-tempat lainnya. Matriks seperti itu disebut matriks diagonal. Jika matriks diagonal A muncul dalam hasil perkalian x'Ax, hasil kalinya merupakan jumlah kuadrat "tertimbang".
Dalam contoh 5, akar matriks A memiliki elemen non-nol a11 dan a22 dalam diagonal utama dan nol di tempat-tempat lainnya. Matriks seperti itu disebut matriks diagonal. Jika matriks diagonal A muncul dalam hasil perkalian x'Ax, hasil kalinya merupakan jumlah kuadrat "tertimbang".
Maka dari itu, bobot untuk suku x12 dan x22 diberikan elemen-elemen dalam diagonal A. Hasil ini berlawanan dengan hasil kali skalar x'x yang menghasilkan jumlah kuadrat sederhana (tidak tertimbang).
Contoh 6:
Mari definisikan ekonomi yang ideal sebagai tingkat pendapatan nasional Y0 yang disesuaikan dengan tingkat inflasi p0. Anggaplah bahwa setiap deviasi pendapatan aktual yang positif Y dari Y0 sama jumlahnya dengan deviasi negatif yang tidak diinginkan.
Contoh 6:
Mari definisikan ekonomi yang ideal sebagai tingkat pendapatan nasional Y0 yang disesuaikan dengan tingkat inflasi p0. Anggaplah bahwa setiap deviasi pendapatan aktual yang positif Y dari Y0 sama jumlahnya dengan deviasi negatif yang tidak diinginkan.
Demikian pula dengan deviasi tingkat inflasi aktual p dari p0. Ini dapat ditulis dalam fungsi kerugian sosial sebagai:
Λ = α (Y - Y0)2 + β (p - p0)2
di mana α dan β adalah bobot yang dikenakan pada dua sumber kerugian sosial.
Jika deviasi Y dianggap sebagai jenis kerugian yang paling serius, maka α harus melebihi β. Perhatikan bahwa pengkuadratan deviasi menghasilkan dua hal. Pertama, deviasi positif akan menerima nilai kerugian yang sama sebagaimana halnya dengan deviasi negatif.
Kedua, pengkuadratan menyebabkan deviasi yang besar memerlukan ukuran kerugian sosial yang lebih komprehensif daripada deviasi yang kecil. Jika diperlukan, fungsi kerugian sosialnya dapat dinyatakan dalam hasil kali matriks,
Perkalian matriks juga bersifat distributif.
Hukum Distributif
A (B + C) = AB + AC [yang mengalikan A]
(B + C) A = BA + CA [yang dikalikan A]
Dalam setiap kasus, tentu saja persyaratan kesesuaian dalam penjumlahan maupun perkalian harus dipenuhi. Demikianlah pembahasan tentang hukum komutatif, asosiatif, dan distributif. Dalam ilmu matematika, secara umum terdapat tiga sifat operasi hitung yakni komutatif, asosiatif, dan distributif.
