Deret Maclaurin dari Fungsi Polinom
Situs Ekonomi - Mula-mula mari kita pertimbangkan ekspansi fungsi polinom dengan derajat n,
Karena deret pangkat sesudah ekspansi akan melibatkan derivatif dari fungsi f dengan berbagai orde, mari kita cari terlebih dahulu. Dengan mediferensiasikan (1.1) secara berurutan, kita akan mendapatkan derivatif-derivatif sebagai berikut:
Perhatikan bahwa setiap diferensiasi berturut-turut mengurangi banyaknya suku dengan satu -- suku konstanta tambahan di depan dhilangkan -- sampai pada derivatif yang ke-n, yang tinggal hanya sebuah suku konstan (suku hasil kali). Derivatif-derivatif ini dapat dihitung pada berbagai nilai x; di sini kita akan menghitungnya pada x = 0, dengan hasil bahwa semua suku yang mengandung x akan hilang. Kemudian kita tinggal memperoleh nilai-nilai derivatif:
Jika sekarang kita pakai lambang n! (dibaca:"n faktorial") yang didefinisikan sebagai
Dengan mensubstitusikannya ke dalam (1.1) dan menggunakan kenyataan bahwa f(0) = a0, kita sekarang dapat menyatakan fungsi f(x) sebagai sebuah polinom baru dengan derajat yang sama di mana koefisien-koefisien dinyatakan dalam bentuk derivatif yang dihitung pada x = 0:
Polinom baru ini, yang disebut deret Maclaurin dari fungsi polinom f(x) menggambarkan ekspansi fungsi f(x) sekitar nol (x = 0). Perhatikan bahwa titik ekspansi hanya (di sini, 0) merupakan nilai x yang akan digunakan untuk menghitung f(x) dan semua derivatifnya.
Jadi, deret Maclaurin adalah
Ini membuktikan bahwa deret Maclaurin sesungguhnya secara tepat menggambarkan fungsi tersebut.
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + ⋯ + anxn (1.1)
menjadi polinom derajat n yang ekuivalen di mana koefisien-koefisien (a0, a1, dan seterusnya) dinyatakan dalam bentuk nilai derivatif f'(0), f''(0), dan seterusnya. Karena melibatkan transformasi dari suatu polinom ke polinom lainnya yang mempunyai derajat sama, hal ini mungkin terlihat sebagai suatu latihan yang sia-sia dan tak bertujuan, tetapi sebenarnya ini akan memberi banyak pemahaman mengenai ide ekspansi secara keseluruhan (Chiang, 2005: 229).Karena deret pangkat sesudah ekspansi akan melibatkan derivatif dari fungsi f dengan berbagai orde, mari kita cari terlebih dahulu. Dengan mediferensiasikan (1.1) secara berurutan, kita akan mendapatkan derivatif-derivatif sebagai berikut:
Perhatikan bahwa setiap diferensiasi berturut-turut mengurangi banyaknya suku dengan satu -- suku konstanta tambahan di depan dhilangkan -- sampai pada derivatif yang ke-n, yang tinggal hanya sebuah suku konstan (suku hasil kali). Derivatif-derivatif ini dapat dihitung pada berbagai nilai x; di sini kita akan menghitungnya pada x = 0, dengan hasil bahwa semua suku yang mengandung x akan hilang. Kemudian kita tinggal memperoleh nilai-nilai derivatif:
Jika sekarang kita pakai lambang n! (dibaca:"n faktorial") yang didefinisikan sebagai
n! ≡ n(n - 1)(n - 2)⋯(3)(2)(1) (n = bilangan bulat positif)
sehingga, misalnya 2! = 2 × 1 = 2 dan 3! = 3 × 2 × 1 = 6, dan seterusnya (dengan 0! ditentukan sama dengan 1), maka hasil dari (1.2) dapat ditulis kembali sebagaiPolinom baru ini, yang disebut deret Maclaurin dari fungsi polinom f(x) menggambarkan ekspansi fungsi f(x) sekitar nol (x = 0). Perhatikan bahwa titik ekspansi hanya (di sini, 0) merupakan nilai x yang akan digunakan untuk menghitung f(x) dan semua derivatifnya.
Contoh: Carilah deret Maclaurin untuk fungsi
f(x) = 2 + 4x + 3x2 (1.4)
Fungsi ini mempunyai derivatif