Uji Derivatif ke-N untuk Ekstrem Relatif dari Fungsi Satu Variabel
Situs Ekonomi - Jika derivatif pertama dari fungsi f(x) di x0 adalah f'(x0) = 0 dan jika nilai derivatif bukan nol pertama di x0 yang dijumpai pada derivatif yang berurutan adalah nilai derivatif ke-N, f(n)(x0) ≠ 0, maka nilai stasioner f(x0) akan menjadi
a. Maksimum relatif bila N bilangan genap dan f(n)(x0) < 0.
b. Minimum relatif bila N bilangan genap tetapi f(n)(x0) > 0.
c. Titik belok bila N ganjil.
Jadi, jelas dari pernyataan di atas bahwa uji derivatif ke-N dapat bekerja jika dan hanya jika fungsi f(x), cepat atau lambat, dapat menghasilkan nilai derivatif bukan nol di nilai kritis x0. Meskipun ada fungsi-fungsi dalam pengecualian gagal memenuhi syarat ini, sebagian besar fungsi-fungsi yang akan kita jumpai sesungguhnya akan menghasilkan f(n)(x0) yang bukan nol dalam diferensiasi-diferensiasi yang berurutan. Oleh karen itu, uji ini akan dapat berfungsi pada banyak situasi (Chiang, 2005: 238-239).
Contoh: Periksalah fungsi y = (7 - x)4 untuk ekstrem relatifnya. Karena f'(x) = -4(7 - x)3 adalah nol bila x = 7, kita ambil x = 7 sebagai nilai kritis untuk pengujian, dengan y = 0 sebagai nilai stasioner fungsi.
Dengan derivatif-derivatif yang berurutan (terus sampai kita mendapatkan nilai derivatif bukan nol di titik x = 7), kita akan memperoleh
Karena 4 merupakan angka genap dan karena f(4)(7) positif, maka kita simpulkan bahwa titik (7, 0) menggambarkan suatu minimum relatif.
Seperti dengan mudah dibuktikan, fungsi ini digambarkan sebagai kurva cembung sempurna. Selama derivatif kedua di x = 7 adalah nol (bukan positif), contoh ini memberikan gambaran pernyataan tentang derivatif kedua dan kelengkungan suatu kurva sebagaimana yang dapat kita lihat pada gambar di atas.
Meskipun f''(x) yang positif untuk semua x mengimplikasikan f''(x) positif untuk semua x. Yang lebih penting, contoh ini juga memberikan gambaran kenyataan bahwa, jika diketahui kurva cembung sempurna (cekung sempurna), ekstrem yang terdapat pada kurva haruslah suatu minimum (maksimum). Mengapa dikatakan demikian? karena ekstrem semacam ini akan memenuhi syarat cukup orde kedua, atau bila tidak, memenuhi syarat cukup (orde yang lebih tinggi) lainnya untuk suatu minimum (maksimum).
a. Maksimum relatif bila N bilangan genap dan f(n)(x0) < 0.
b. Minimum relatif bila N bilangan genap tetapi f(n)(x0) > 0.
c. Titik belok bila N ganjil.
Jadi, jelas dari pernyataan di atas bahwa uji derivatif ke-N dapat bekerja jika dan hanya jika fungsi f(x), cepat atau lambat, dapat menghasilkan nilai derivatif bukan nol di nilai kritis x0. Meskipun ada fungsi-fungsi dalam pengecualian gagal memenuhi syarat ini, sebagian besar fungsi-fungsi yang akan kita jumpai sesungguhnya akan menghasilkan f(n)(x0) yang bukan nol dalam diferensiasi-diferensiasi yang berurutan. Oleh karen itu, uji ini akan dapat berfungsi pada banyak situasi (Chiang, 2005: 238-239).
Contoh: Periksalah fungsi y = (7 - x)4 untuk ekstrem relatifnya. Karena f'(x) = -4(7 - x)3 adalah nol bila x = 7, kita ambil x = 7 sebagai nilai kritis untuk pengujian, dengan y = 0 sebagai nilai stasioner fungsi.
Dengan derivatif-derivatif yang berurutan (terus sampai kita mendapatkan nilai derivatif bukan nol di titik x = 7), kita akan memperoleh
Seperti dengan mudah dibuktikan, fungsi ini digambarkan sebagai kurva cembung sempurna. Selama derivatif kedua di x = 7 adalah nol (bukan positif), contoh ini memberikan gambaran pernyataan tentang derivatif kedua dan kelengkungan suatu kurva sebagaimana yang dapat kita lihat pada gambar di atas.
Meskipun f''(x) yang positif untuk semua x mengimplikasikan f''(x) positif untuk semua x. Yang lebih penting, contoh ini juga memberikan gambaran kenyataan bahwa, jika diketahui kurva cembung sempurna (cekung sempurna), ekstrem yang terdapat pada kurva haruslah suatu minimum (maksimum). Mengapa dikatakan demikian? karena ekstrem semacam ini akan memenuhi syarat cukup orde kedua, atau bila tidak, memenuhi syarat cukup (orde yang lebih tinggi) lainnya untuk suatu minimum (maksimum).
