Laju Pertumbuhan Seketika (Sesaat)
Situs Ekonomi - Di sini perlu ditekankan bahwa pemajemukan bunga adalah suatu interpretasi ilustratif, tetapi bukan eksklusif, dari fungsi eksponensial natural Aert. Pemajemukan bunga hanya merupakan contoh proses umum dari pertumbuhan eksponensial -- exponential growth (di sini, pertumbuhan sejumlah modal uang sepanjang waktu) dan kita dapat menerapkan fungsi yang sama baiknya untuk pertumbuhan penduduk, kesehatan atau modal riil.
Bila digunakan untuk beberapa hal selain pemajemukan bunga, koefisien r dalam Aert tidak lagi menyatakan suku bunga nominal. Jadi, apa artinya secara ekonomi? Chiang (2005: 248) menjawab bahwa r dapat diinterpretasikan kembali sebagai laju pertumbuhan seketika (instantaneous rate of growth) dari fungsi Aert.
Sebenarnya, hal itulah yang membuat mengapa kita mula-mula menggunakan simbol r untuk laju pertumbuhan). Dengan fungsi V = Aert, yang memberikan nilai V pada setiap titik waktu t, tingkat perubahan V dapat diperoleh dalam derivatif
Namun, laju pertumbuhan V sebenarnya adalah tingkat perubahan V yang dinyatakan dalam bentuk relatif (persentase), yaitu dinyatakan sebagai rasio dari nilai V itu sendiri. Oleh karena itu, untuk setiap waktu tertentu, kita mempunyai
Beberapa pengamatan mengenai laju pertumbuhan ini akan kita lakukan. Tetapi, pertama-tama mari kita jelaskan sesuatu yang penting yang berhubungan dengan konsep waktu, yaitu perbedaan antara suatu titik waktu dan suatu periode waktu.
Variabel V (yang menyatakan sejumlah uang, atau jumlah penduduk, dan seterusnya) adalah konsep stok (persediaan), yang menimbulkan pertanyaan: Berapa banyak hal tersebut terdapat pada suatu titik tertentu? Dengan demikian, V berhubungan dengan konsep titik waktu. Pada setiap titik waktu, V mempunyai nilai tunggal.
Perubahan dalam V, di lain pihak, menggambarkan suatu aliran (flow), yang mengandung pertanyaan: Berapa banyak V yang terjadi selama rentang waktu tertentu? Jadi, perubahan V dan, dengan kata lain, tingkat perubahan V harus mempunyai referensi dengan beberapa waktu tertentu, misalkan, per tahun.
Dengan pemahaman ini, mari kita kembali ke persamaan laju pertumbuhan di atas untuk beberapa komentar:
- Laju pertumbuhan yang didefinisikan di atas merupakan laju pertumbuhan seketika (instantaneous). Karena derivatif dV/dt = r Aert mempunyai nilai yang berbeda pada titik t yang berbeda, seperti V = Aert, rasionya juga harus mempunyai referensi dengan titik tertentu (atau seketika) dari t. Dalam hal ini, laju pertumbuhannya adalah seketika.
- Akan tetapi, dalam kasus yang sekarang, laju pertumbuhan seketika yang terjadi merupakan konstanta r, dengan laju pertumbuhan yang seragam pada semua titik waktu. Tentu saja, ini mungkin tidak terjadi pada semua situasi pertumbuhan.
- Meskipun laju pertumbuhan r diukur pada titik waktu tertentu, besarannya mempunyai konotasi atau hubungan dengan begitu banyak persen per unit waktu, katakanlah per tahun (bila t diukur dalam unit tahun). Pertumbuhan, menurut sifat alaminya, hanya dapat terjadi dalam interval waktu tertentu. Inilah sebabnya mengapa gambar (yang mencatat situasi pada suatu saat) tidak pernah dapat memberikan gambaran, katakanlah, pertumbuhan seorang anak, sedangkan dua gambar yang diambil pada waktu yang berbeda -- katakanlah berbeda satu tahun -- dapat memberikan gambaran. Bila Anda mengatakan bahwa V mempunyai laju pertumbuhan r pada saat t = t0, berarti bahwa, bila tingkat perubahan dV/dt (= rV) yang berlaku pada t = t0 diizinkan terus berlangsung tanpa gangguan untuk unit keseluruhan waktu (1 tahun), maka V seharusnya tumbuh dengan jumlah rV pada akhir tahun.
- Untuk fungsi eksponensial V = Aert, tingkat persentase pertumbuhan adalah konstan pada semua titik t, tetapi jumlah absolut dan pertumbuhan V bertambah sesuai dengan waktu, karena tingkat persentase akan dihitung atas dasar yang makin lama makin besar.
Dengan menginterpretasikan r sebagai laju pertumbuhan seketika, dengan mudah bisa didapat laju pertumbuhan fungsi eksponensial yang asli dari bentuk y = Aert, asalkan r konstan. Misalnya, dengan fungsi y = 75e0,02t, kita dapat dengan segera mendapatkan laju pertumbuhan y, yaitu 0,02 atau 2 persen per periode (Chiang, 2005: 249).
