Konversi Bilangan Pokok
Situs Ekonomi - Sejauh ini, kita telah mengetahui fungsi eksponensial y = Abt selalu dapat diubah ke dalam fungsi eksponensial natural y = Aert. Sekarang, kita telah siap untuk menurunkan suatu rumus konversi.
Namun, sebagai ganti Abt, mari kita pertimbangkan konversi ekspresi yang lebih umum Abct ke dalam Aert. Karena inti persoalannya adalah mendapatkan r dari nilai b dan c tertentu
Pekerjaan ini mudah dilakukan dengan mengambil log natural dari kedua sisi persamaan terakhir tersebut:
Contoh 1:
Ubahlah y = 2t ke dalam fungsi eksponensial natural. Di sini A = 1, b = 2, dan c = 1. Jadi, r = c In b = In 2, dan fungsi eksponensial yang dikehendaki adalah
Namun, sebagai ganti Abt, mari kita pertimbangkan konversi ekspresi yang lebih umum Abct ke dalam Aert. Karena inti persoalannya adalah mendapatkan r dari nilai b dan c tertentu
er = bc
maka yang diperlukan adalah menyatakan r sebagai fungsi b dan c (Chiang, 2005: 258).Pekerjaan ini mudah dilakukan dengan mengambil log natural dari kedua sisi persamaan terakhir tersebut:
In er = In bc
Sisi kiri dapat dibaca sebagai sama dengan r, sehingga fungsi yang dikehendaki (rumus konversi) adalah sebagai berikut:
r = In bc = c In b (1.1)
ini menunjukkan bahwa fungsi y = Abct selalu dapat ditulis kembali dalam bentuk bilangan pokok natural y = Ae(c In b)t.Contoh 1:
Ubahlah y = 2t ke dalam fungsi eksponensial natural. Di sini A = 1, b = 2, dan c = 1. Jadi, r = c In b = In 2, dan fungsi eksponensial yang dikehendaki adalah
y = Aert = e(In 2)t
Bila kita kehendaki, kita dapat juga menghitung nilai dari (In 2) dengan menggunakan tabel logaritma biasa sebagai berikut:
In 2 = 2,3026 log10 2 = 2,3026(0,3010) = 0,6931 (1.2)
Kemudian, kita dapat menyatakan hasil di atas dengan cara lain sebagai y = e0,6931t.
Contoh 2:
Ubahlah y = 3(5)2t menjadi fungsi eksponensial asli. Dalam contoh ini, A = 3, b = 5, dan c = 2, dan rumus (1.1) menghasilkan r = 2 In 5.
Oleh karena itu, fungsi yang diinginkan adalah
y = Aert = 3e(2 In 5)t
Sekali lagi, bila kita kehendaki, kita dapat menghitung
2 In 5 = In 25 = 2,3026 log10 25 = 2,3026(1,3979) = 3,2188
sehingga hasil yang sebelumnya dengan menggunakan cara lain, sekarang bisa dinyatakan sebagai y = 3e3,2188t.
Tentu saja, juga mungkin untuk mengubah fungsi log dari bentuk t = logb y ke dalam fungsi log asli yang ekuivalen. Untuk itu, kita perlu menggunakan Aturan IV logaritma, yang dapat dinyatakan sebagai
logb y = (logb e)(loge y)
Substitusi langsung hasil ini ke dalam fungsi log tertentu akan segera memberikan fungsi log natural yang dikehendaki:
Dengan prosedur yang sama, kita dapat mengubah fungsi log yang lebih umum t = a logb (cy) ke dalam bentuk yang ekuivalen
Contoh 3:
Ubahlah fungsi t = log2 y ke dalam bentuk log natural. Karena dalam contoh ini kita mempunyai b = 2 dan a = c = 1, maka fungsi yang dikehendaki adalah
Tetapi, dengan (1.2) kita dapat juga menyatakannya sebagai t = (1/0,6931) In y.
Contoh 4:
Ubahlah fungsi t = 7 log10 (2y) ke dalam fungsi logaritma natural. Dalam hal ini, nilai konstantanya adalah a = 7, b = 10, dan c = 2; akibatnya, fungsi yang dikehendaki adalah
Namun, karena In 10 = 2,3026, maka fungsi ini dapat ditulis kembali sebagai t = (7/2,3026) In (2y) = 3,0400 In (2y).
Kita dapat mengatakan bahwa t sebagai suatu fungsi dari y apabila fungsi tersebut adalah logaritma. Satu-satunya alasan untuk melakukan hal itu adalah keinginan kita untuk menekankan hubungan fungsi invers antara fungsi eksponensial dan fungsi logaritma.
Bila fungsi log dipelajari olehnya sendiri kita akan menuliskan y = In t (bukan t = In y) seperti biasanya. Jelas bahwa tidak satupun aspek analitis dari pembahasan akan dipengaruhi oleh perubahan simbol seperti ini (Chiang, 2005: 259).
Contoh 4:
Ubahlah fungsi t = 7 log10 (2y) ke dalam fungsi logaritma natural. Dalam hal ini, nilai konstantanya adalah a = 7, b = 10, dan c = 2; akibatnya, fungsi yang dikehendaki adalah
Kita dapat mengatakan bahwa t sebagai suatu fungsi dari y apabila fungsi tersebut adalah logaritma. Satu-satunya alasan untuk melakukan hal itu adalah keinginan kita untuk menekankan hubungan fungsi invers antara fungsi eksponensial dan fungsi logaritma.
Bila fungsi log dipelajari olehnya sendiri kita akan menuliskan y = In t (bukan t = In y) seperti biasanya. Jelas bahwa tidak satupun aspek analitis dari pembahasan akan dipengaruhi oleh perubahan simbol seperti ini (Chiang, 2005: 259).
