Diferensial Total Orde Kedua
Bila diketahui total dz,
dz = fxdx + fydy (1.1)
dan dengan konsep derivatif parsial orde kedua, kita dapat memperoleh persamaan diferensial total orde kedua d2z dengan mendiferensiasikan dz lebih lanjut. Dalam melakukannya, perlu kita ingat bahwa dalam persamaan dz = fxdx + fydy, simbol dx dan dy menggambarkan perubahan dalam x dan y tertentu atau sembarang; jadi hal itu harus diperlakukan sebagai suatu konstanta selain proses diferensiasi. Akibatnya, dz hanya tergantung pada fx dan fy, dan karena fx dan fy merupakan fungsi x dan y sendiri, maka dz, seperti halnya z itu sendiri, merupakan fungsi dari x dan y (Chiang, 2005: 278).
Untuk memperoleh d2z, kita hanya menerapkan definisi diferensial -- seperti diperlihatkan dalam (1.1) -- terhadap dz sendiri. Jadi,
Perhatikan lagi bahwa eksponen 2 muncul dalam (1.2) dalam dua bentuk yang berbeda. Dalam simbol d2z, eksponen 2 menunjukkan diferensial total orde kedua dari z; tetapi dalam simbol dx2 ≡ (dx)2, eksponen itu menunjukkan kuadrat dari diferensial dx orde pertama.
Hasil dalam (1.2) menunjukkan besarnya d2z dalam bentuk nilai dx dan dy tertentu, yang diukur dari beberapa titik (x0, y0) dalam domain tersebut. Tetapi untuk menghitung d2z, kita juga perlu mengetahui derivatif parsial orde kedua fxx, fxy, dan fyy, yang semuanya dinilai pada (x0, y0) -- persis seperti derivatif parsial orde pertama yang kita perlukan untuk menghitung dz dari (1.1).
Contoh:
Jika diketahui z = x3 + 5xy - y2, carilah dz dan d2z. Jadi, dengan mensubstitusi derivatif-derivatif yang telah diperoleh ke dalam (1.1) dan (1.2) kita dapatkan
dz = (3x2 + 5y)dx + (5x - 2y)dy
dan
d2z = 6x dx2 + 10 dx dy - 2dy2
Kita juga dapat menghitung dz dan d2z pada titik tertentu dalam domain. Pada titik x = 1 dan y = 2, misalnya, kita peroleh
dz = 13 dx + dy dan d2z = 6 dx2 + 10 dx dy - 2 dy2
