Uji Karakteristik Akar untuk Kedefinitan Tanda

Situsekonomi.com - Selain menggunakan uji determinan di atas untuk mengetahui kedefinitan tanda dari bentuk kuadrat u'Du, terdapat pengujian lain yang menggunakan konsep yang dinamakan "karakteristik akar" dari matriks D. Konsep ini timbul dalam persoalan berikut.

Bila diketahui matriks n × n, D, dapatkah kita memperoleh skalar r, dan n × 1, vektor x ≠ 0, sedemikian rupa sehingga persamaan matriks

terpenuhi? Bila ya, skalar r dinyatakan sebagai karakteristik akar dari matriks D dan x sebagai karakteristik vektor dari matriks tersebut (Chiang, 2005: 288).

Persamaan matriks Dx = rx dapat ditulis kembali sebagai Dx - rIx = 0, atau

(D - rI)x = 0 di mana 0 adalah n × 1   (1.2)

Tentu saja ini mencerminkan sistem dari n persamaan linear yang homogen.

Karena kita menginginkan suatu pemecahan x yang berarti, matriks koefisien (D - rI) -- yang disebut sebagai karakteristik matriks D -- haruslah singular. Dengan kata lain, determinannya harus dibuat menjadi nol:

Persamaan (1.3) disebut karakteristik persamaan matriks D. Kedua determinan |D - rI|, setelah ekspansi Laplace, akan menghasilkan suatu polinom berderajat n dalam variabel r, maka (1.3) dalam kenyataannya adalah suatu persamaan polinom berderajat n.

Jadi, akan ada total dari n akar, (r₁, ..., r_n), yang masing-masing disebut sebagai karakteristik akar. Bila D simetris, seperti kasus dalam konteks bentuk kuadrat, karakteristik akar akan selalu berubah menjadi bilangan riil, tetapi bisa berupa tanda aljabar, atau nol.

Karena semua nilai r akan membuat determinan |D - rI| menjadi nol, pensubstitusian setiap nilai-nilai ini (katakan, r_i) ke dalam sistem persamaan (1.2) akan menghasilkan vektor x|_{r = ri} yang bersesuaian. Lebih pasti lagi, karena sistemnya adalah homogen, maka juga akan menghasilkan vektor yang jumlahnya tak terhingga yang bersesuaian dengan akar r_i.

Tetapi, kita akan menggunakan proses normalisasi (akan kita jelaskan pada contoh di akhir pembahasan ini) dan memilih anggota tertentu dari himpunan yang tak terhingga tersebut sebagai karakteristik vektor yang sesuai dengan r_i; vektor ini akan dinotasikan oleh v_i. Dengan total n karakteristik akar, akan terdapat sejumlah n karakteristik vektor yang bersesuaian.

Contoh:

Carilah karakteristik akar dan vektor dari matriks

Dengan mensubstitusikan matriks D yang telah diketahui ke dalam (1.3), kita dapatkan persamaan

dengan akar r₁ = 3 dan r₂ = -2.

Bila akar pertama digunakan, persamaan matriks (1.2) akan mengambil bentuk

Kedua baris matriks koefisien adalah bebas secara linear, seperti yang kita perkirakan sesuai dengan (1.3), terdapat jumlah pemecahan yang tak terhingga, yang dapat dinyatakan dengan persamaan x₁ = 2x₂.

Untuk mendapatkan pemecahan tunggal (unik), kita normalisasikan pemecahan tersebut dengan memberikan batasan-batasan

Jadi, karena

kita dapat memperoleh (dengan mengambil akar kuadrat positif) x₂ = 1/√5, dan juga x₁ = 2x₂ = 2/√5.

Jadi, karakteristik vektor yang pertama adalah

Demikian juga, dengan menggunakan akar kedua r₂ = -2 dalam (1.2), kita dapatkan persamaan

yang mempunyai pemecahan x₁ = -1/2x₂.

Dengan normalisasi, kita dapatkan

yang menghasilkan x₂ = 2/√5 dan x₁ = -1/√5. Jadi, karakteristik vektor yang kedua adalah

Gambar oleh Gerd Altmann dari Pixabay

Rizki Gusnandar Kelemahan terbesar kita adalah bersandar pada kepasrahan. Jalan yang paling jelas menuju kesuksesan adalah selalu mencoba, setidaknya satu kali lagi - Thomas A. Edison.

Share :