Fungsi yang Dapat Didiferensialkan
Situsekonomi.com - Seperti yang dinyatakan dalam persamaan
Dalam kasus satu variabel, definisinya adalah:
Jika diinterpretasikan secara geometri, definisi tersebut menggambarkan suatu kurva cekung (cembung) yang terletak pada atau di bawah (di atas) semua garis singgungnya. Sebaliknya, untuk memenuhi kualifikasi sebagai kurva cekung sempurna (cembung sempurna), kurva harus terletak mutlak di bawah (di atas) semua garis singgung, kecuali pada titik singgungnya.
Pada gambar di atas, misalkan titik A merupakan sembarang titik tertentu pada kurva, dengan tinggi f (u) dan dengan garis singgung AB. Misalkan x naik dari nilai u. Jadi, kurva cekung sempurna (seperti digambarkan), agar membentuk bukit, harus melengkung secara progresif menjauhi garis singgung AB, sehingga titik C, dengan tinggi f (v), harus terletak di bawah titik B.
Dalam kasus ini, kemiringan segmen garis AC lebih kecil daripada kemiringan garis singgung AB. Sebaliknya, bila kurva tersebut tidak cekung sempurna, bisa mengandung segmen garis, sehingga, misalnya, busur AC berubah menjadi segmen garis dan bersinggungan dengan segmen garis AB, sebagai bagian linear dari kurva.
Apabila kasusnya adalah kemiringan AC sama dengan AB, maka kedua situasi ini secara bersamaan mempunyai implikasi bahwa
Bila dikalikan dengan jumlah positif (v - u), ketidaksamaan ini memberikan hasil dalam (1.2) untuk fungsi cekung. Hasil yang sama bisa didapat, bila kita mempertimbangkan nilai x yang lebih kecil dari u (Chiang, 2005: 305).
Bila ada dua atau lebih variabel bebas, definisinya membutuhkan sedikit perubahan:
Definisi ini mensyaratkan grafik fungsi cekung (cembung) f (x) berada pada atau di bawah (di atas) semua bidang garis singgungnya atau bidang jamak.
Untuk kecekungan dan kecembungan sempurna, ketidaksamaan yang lemah dalam (1.3) harus diubah menjadi ketidaksamaan sempurna. Hal ini mensyaratkan grafik-grafik cekung sempurna (cembung sempurna) berada mutlak di bawah (di atas) semua bidang singgungannya atau bidang jamak, kecuali pada titik singgungnya.
Terakhir, perhatikan suatu fungsi z = f (x1, ..., xn) yang dapat didiferensialkan dua kali secara kontinu. Untuk fungsi seperti ini, derivatif parsial orde kedua ada, dan oleh karenanya d2z dapat ditentukan. Kecembungan dan kecekungan kemudian dapat diperiksa (dicek) dengan tanda d2z:
Dalam kasus ini, kemiringan segmen garis AC lebih kecil daripada kemiringan garis singgung AB. Sebaliknya, bila kurva tersebut tidak cekung sempurna, bisa mengandung segmen garis, sehingga, misalnya, busur AC berubah menjadi segmen garis dan bersinggungan dengan segmen garis AB, sebagai bagian linear dari kurva.
Apabila kasusnya adalah kemiringan AC sama dengan AB, maka kedua situasi ini secara bersamaan mempunyai implikasi bahwa
Bila ada dua atau lebih variabel bebas, definisinya membutuhkan sedikit perubahan:
Untuk kecekungan dan kecembungan sempurna, ketidaksamaan yang lemah dalam (1.3) harus diubah menjadi ketidaksamaan sempurna. Hal ini mensyaratkan grafik-grafik cekung sempurna (cembung sempurna) berada mutlak di bawah (di atas) semua bidang singgungannya atau bidang jamak, kecuali pada titik singgungnya.
Terakhir, perhatikan suatu fungsi z = f (x1, ..., xn) yang dapat didiferensialkan dua kali secara kontinu. Untuk fungsi seperti ini, derivatif parsial orde kedua ada, dan oleh karenanya d2z dapat ditentukan. Kecembungan dan kecekungan kemudian dapat diperiksa (dicek) dengan tanda d2z:
Gambar oleh Gerd Altmann dari Pixabay
