Dalil-dalil Operasi Himpunan
Gambar 1.1: Diagram Venn
Dari gambar di atas, kita dapat melihat bahwa daerah yang berwarna putih polos pada diagram (a) tidak hanya menunjukkan A ∪ B, tetapi juga B ∪ A. Hal yang sama berlaku untuk diagram (b), di mana daerah yang diarsir berwarna biru tidak hanya menunjukkan A ∩ B, tetapi juga B ∩ A.
Apabila dirumuskan, hasilnya merupakan hukum komutatif dari gabungan dan irisan:
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A.
Chiang (2005) mengatakan bahwa hubungan ini sama dengan dalil aljabar, yaitu:
a + b = b + a dan a × b = b × a.
Baca Juga: Hukum Komutatif, Asosiatif, dan Distributif
Gambar 1.2: Hasil Operasi Gabungan dan Irisan
Untuk memperoleh gabungan dari tiga himpunan A, B, dan C, kita terlebih dahulu mencari gabungan dari dua himpunan manapun, kemudian hasil gabungan digabungkan dengan himpunan yang ketiga; cara yang sama dapat diterapkan untuk operasi irisan. Hasil operasi semacam ini digambarkan dalam Gambar 1.2.
Baca Juga: Fluktuasi Ekonomi Jangka Pendek
Sangat menarik bahwa urutan himpunan yang dipilih dalam operasi tidaklah penting. Kenyataan ini menimbulkan hukum asosiatif dari gabungan dan irisan:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
Persamaan ini mengingatkan pada hukum aljabar a + (b + c) = (a + b) + c dan a × (b × c) = (a × b) × c.
Juga ada hukum yang dipakai jika gabungan dan irisan digunakan dalam kombinasi. Hukum ini adalah hukum distributif dari gabungan dan irisan:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Ini menyerupai hukum aljabar a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
Contoh: Buktikan hukum distributif jika diketahui A = {4, 5}, B = {3, 6, 7}, dan C = {2, 3}. Untuk membuktikan bagian pertama hukum ini, kita tunjukkan pernyataan sebelah kiri dan sebelah kanan secara terpisah:
Kiri: A ∪ (B ∩ C) = {4, 5} ∪ {3} = {3, 4, 5}
Kanan: (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {3, 4, 5, 6, 7} ∩ {2, 3, 4, 5} = {3, 4, 5}.
Kanan: (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {3, 4, 5, 6, 7} ∩ {2, 3, 4, 5} = {3, 4, 5}.
Karena kedua sisi memberikan hasil yang sama, maka hukum tersebut terbukti. Cara yang sama juga digunakan untuk bagian kedua hukum distributif, di mana kita peroleh:
Kiri: A ∩ (B ∪ C) = {4, 5} ∩ {2, 3, 6, 7} = ∅
Kanan: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ∅ ∪ ∅ = ∅.
Jadi, hukum tersebut kembali terbukti.
