Nilai Harapan dari Ukuran Tendensi Sentral
Jika Anda pernah mempelajari ilmu statistik, kemungkinan besar Anda pasti tahu apa itu tendensi sentral. Umumnya yang kita ketahui mengenai ukuran tendensi sentral (average) adalah nilai perwakilan dari satu distribusi data, sehingga hal tersebut harus memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
- Harus mempertimbangkan semua gugus data.
- Tidak boleh terpengaruh dengan nilai-nilai ekstrim.
- Harus stabil dari sampel ke sampel.
- Harus mampu digunakan untuk analisis statistik lebih lanjut.
Namun, ketika Anda mulai mempelajari ekonometrika, hal ini dibahas lebih jauh lagi tepatnya seperti yang akan kita bahasa sekarang ini, yaitu nilai harapan dari ukuran tendensi sentral. Oleh karenanya, perlu diketahui bahwa nilai harapan dari suatu variabel acak (v.a.) yang bersifat diskret, X, dinotasikan dengan simbol E(X) (baca: E dari X), didefinisikan sebagai berikut:
di mana f(X) adalah FMP (fungsi massa probabilitas) dari X dan di mana Σx berarti jumlah semua nilai X.
Baca Juga: Mengapa Kita Perlu Mempelajari Ekonometrika?
Bila diuraikan dengan kata-kata, nilai harapan dari suatu variabel acak adalah rata-rata tertimbang dari nilai yang mungkin untuk variabel tersebut, di mana probabilitas dari nilai-nilai ini [yakni, f(X)] berlaku bobotnya. Dengan kata lain, nilai harapan dari suatu variabel acak adalah jumlah hasil kali dari nilai-nilai v.a. tersebut dengan probabilitas masing-masing nilai. Nilai harapan dari suatu v.a. juga disebut sebagai nilai rata-rata atau mean, meskipun, lebih tepatnya, nilai tersebut dikenal dengan nilai rata-rata populasi karena beberapa alasan yang akan segera kita bahas (Gujarati, 2006).
Tabel 1.1
Nilai Harapan dari Variabel Acak X, Angka yang Muncul di Mata Dadu
Contoh 1.1:
Andaikan kita melemparkan sebuah mata dadu bernomor 1 sampai 6 sebanyak beberapa kali. Berapakah nilai harapan dari angka yang muncul? Dengan menerapkan definisi nilai harapan sebagaimana yang dinyatakan dalam persamaan di atas, kita mengetahui bahwa nilai harapannya adalah 3,5.
Apakah aneh bahwa kita mendapatkan nilai ini, karena v.a. di sini bersifat diskret dan hanya dapat memiliki salah satu di antara keenam nilai 1 sampai 6? Nilai harapan, atau rata-rata, sebesar 3,5 dalam contoh ini berarti bahwa kita melemparkan mata dadu sebanyak beberapa kali, sehingga secara rata-rata, kita akan mendapatkan 3,5 yang terletak antara 3 dan 4. Jika dalam sebuah pertandingan, seseorang harus membayar kepada Anda sebanyak angka yang muncul di mata dadu, maka dalam beberapa kali pelemparan, Anda bisa berharap menerima rata-rata sebesar $3,50 untuk setiap pelemparan mata dadu.
Baca Juga: Pengertian Model Regresi dan Korelasi
Secara geometri, nilai harapan dari contoh di atas dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
Contoh 1.2:
Tabel 1.2
Contoh Penjualan PC/Printer
Dalam contoh tentang penjualan PC/printer, berapakah nilai harapan dari jumlah PC yang terjual? Ini dapat dengan mudah dihitung berdasarkan Tabel 1.2 dengan mengalikan nilai-nilai X (PC yang terjual) dengan probabilitas masing-masing (dalam hal ini, f(X)) dan menjumlahkan semua hasil kali tersebut. Dengan demikian,
E(X) = 0(0,08) + 1(0,12) + 2(0,24) + 3(0,24) + 4(0,32) = 2,60
Dalam hal ini, rata-rata jumlah PC yang terjual setiap harinya adalah 2,60. Ingatlah bahwa angka ini merupakan rata-rata. Pada hari tertentu, PC yang terjual dapat berjumlah antara 0 dengan 4. Anda dapat dengan mudah membuktikan bahwa E(Y) = 2,35; dalam hal ini, rata-rata jumlah printer yang terjual adalah 2,35.
