3 Contoh Seputar Dalil-dalil Limit

Situs Ekonomi - Perhatian kita terhadap tingkat perubahan membawa kita untuk meninjau konsep derivatif yang -- karena mempunyai sifat limit dari suatu hasil bagi perbedaan -- akan mendorong kita untuk mempelajari pertanyaan-pertanyaan mengenai penilaian dan adanya suatu limit. Proses dasar penilaian limit, yakni

(L - a₁, L + a₂) ≡ {q | L - a₁ < q < L + a₂}  (1.1)

melibatkan variabel v yang mendekati suatu bilangan khusus (katakanlah, N) dan mengamati nilai yang didekati q. Namun dalam menilai limit suatu fungsi, kita mungkin mendapatkan dalil-dalil limit tertentu, yang secara material mempermudah penyelesaian, terutama untuk fungsi yang rumit (Chiang, 2005: 132).

Dalil-dalil yang Melibatkan Fungsi Tunggal

Jika fungsi tunggal q = g(v) dilibatkan, maka dalil-dalil berikut dapat dipakai.
Dalil I  Bila q = av +b, maka

Contoh 1

Jika diketahui q = 3v + 5, kita peroleh

Dengan cara yang sama,

Dalil II  Bila q = g(v) = b, maka

Dalil ini, yang menyatakan bahwa limit suatu fungsi konstan adalah konstanta dalam fungsi tersebut, hanyalah kasus khusus dari Dalil I, dengan a = 0 (Chiang, 2005: 133).

Dalil III  Bila q = v, maka

Bila q = v^k, maka

Contoh 2

Jika diketahui q = v³, kita peroleh

Anda dapat memperhatikan bahwa, dalam ketiga dalil-dalil di atas, apa yang dikerjakan dalam mencari limit q untuk v → N adalah perlu menganggap v = N. Tetapi ini merupakan kasus khusus, dan hal itu tidak meniadakan aturan umum bahwa "v → N" bukan berarti "v = N".

Dalil-dalil yang Melibatkan Dua Fungsi

Bila kita mempunyai dua fungsi dari variabel bebas v yang sama, q₁ = g(v) dan q₂ = h(v), dan bila kedua fungsi itu memiliki limit sebagai berikut:

di mana L₁ dan L₂ keduanya adalah bilangan hingga (finite), maka dalil berikut ini dapat dipakai.

Dalil IV (dalil limit jumlah selisih)

Limit suatu jumlah (selisih) dari dua fungsi adalah jumlah (selisih) dari limit masing-masing.

Secara khusus, kita perhatikan bahwa

yang sejalan dengan Dalil I.

Dalil V (dalil limit hasil perkalian)

Limit hasil perkalian dua fungsi adalah hasil perkalian limit-limit lainnya.

Pemakaian pada fungsi kuadrat akan memberikan

yang sejalan dengan Dalil III.

Dalil VI (dalil limit hasil bagi)

Limit hasil bagi (quotient) dan dua fungsi adalah hasil bagi limit-limitnya. Tentu saja, limit L₂ tidak diperkenankan menjadi nol; kalau tidak hasil baginya tidak dapat ditentukan (Chiang, 2005: 134).

Contoh 3

Carilah

Karena di sini kita peroleh

maka limit yang dicari adalah 1/2.

Ingat bahwa L₁ dan L₂ merupakan bilangan hingga; kalau tidak dalil-dalil ini tidak dapat dipakai. Selanjutnya, dalam kasus Dalil VI, L₂ juga harus tidak nol. Bila pembatasan ini tidak dipenuhi, kita harus kembali pada metode penilaian limit, di mana L₂ menjadi nol dan L₂ menjadi tak terhingga.

Limit Fungsi Polinom

Dengan dalil limit di atas, kita dapat dengan mudah menilai limit dari setiap fungsi polinom

q = g(v) = a₀ + a₁v + a₂v² + ... + a_nvⁿ  (1.2)

untuk v mendakati bilangan N. Karena limit-limit untuk suku-suku yang terpisah masing-masing adalah

limit fungsi polinom adalah (dengan dalil limit penjumlahan)

Limit ini sebenarnya juga sama dengan g(N), yakni sama dengan nilai fungsi dalam (1.2) bila v = N. Hasil khusus ini akan terbukti penting dalam pembahasan konsep kontinuitas fungsi polinom.

Gambar oleh Gerd Altmann dari Pixabay 

Rizki Gusnandar Kelemahan terbesar kita adalah bersandar pada kepasrahan. Jalan yang paling jelas menuju kesuksesan adalah selalu mencoba, setidaknya satu kali lagi - Thomas A. Edison.

Share :