Istilah Aturan Rantai dalam Ilmu Matematika Ekonomi
Situs Ekonomi - Jika kita mempunyai fungsi terdiferensiasi z = f(y), di mana y pada gilirannya merupakan fungsi terdiferensiasi dari variabel x yang lain, katakan y = g(x), maka derivatif z terhadap x sama dengan derivatif z terhadap y, dikalikan derivatif y terhadap x. Secara simbolis, hal itu dinyatakan sebagai
Aturan ini, yang dikenal sebagai aturan rantai (chain rule), secara intuitif sangat menarik. Jika diketahui Δx, maka harus ada hasil Δy yang bersesuaian melalui fungsi y = g(x), tetapi Δy ini pada akhirnya akan membawa Δz melalui fungsi z = f(y). Jadi, terdapat "reaksi berantai" sebagai berikut
Kedua hubungan dalam rangkaian ini memerlukan dua hasil bagi diferens Δy/Δx dan Δz/Δy, tetapi jika dikalikan, Δy akan hilang dan kita peroleh
yaitu suatu hasil bagi diferens yang menghubungkan Δz dengan Δx. Jika kita cari limit hasil bagi diferens ini untuk Δx → 0 (yang secara tidak langsung menyatakan Δy → 0), masing-masing hasil bagi diferens akan beralih menjadi derivatif; yakni, kita akan memperoleh (dz/dy)(dy/dx) = dz/dx. Tepatnya, ini merupakan hasil dari persamaan yang telah kita singgung di awal pembahasan ini.
Berdasarkan fungsi y = g(x), kita dapat menyatakan fungsi z = f(y) sebagai z = f [g(x)], di mana kemunculan simbol dua fungsi f dan g yang bersamaan menunjukkan bahwa ini adalah suatu composite function atau fungsi komposit (fungsi dari suatu fungsi). Karena alasan inilah aturan rantai juga disebut sebagai aturan fungsi komposit atau aturan fungsi dari suatu fungsi (Chiang, 2005: 154).
Perluasan aturan rantai ini dapat juga dikerjakan menjadi tiga fungsi atau lebih. Andaikan kita memiliki z = f(y), y = g(x), dan x = h(w), maka
dan demikian juga untuk kasus di mana fungsi-fungsi yang terlibat lebih banyak.
Contoh 1 Bila z = 3y2, di mana y = 2x + 5, maka
Contoh 2 Bila z = y - 3, di mana y = x3, maka
Contoh 3 Kegunaan aturan ini sangat diperlukan bila ketika harus mendiferensiasikan suatu fungsi seperti z = (x2 + 3x - 2)17. Tanpa aturan rantai, dz/dx hanya dapat diperoleh melalui pekerjaan yang memakan waktu lama dari perkalian pangkat 17. Akan tetapi, dengan aturan rantai kita dapat memperolehnya melalui jalan pintas dengan menentukan variabel intermediate yang baru, y = x2 + 3x - 2, sehingga kita peroleh dua fungsi penghubung dalam suatu rangkaian:
Contoh 4 Jika diketahui fungsi pendapatan total R = f(Q) dari suatu perusahaan, di mana output Q adalah fungsi dari input tenaga kerja (labor input) L, atau Q = g(L), carilah dR/dL. Dengan aturan rantai, kita peroleh
Bila diterjemahkan ke dalam istilah ekonomi, dR/dQ adalah fungsi MR dan dQ/dL adalah fungsi marginal-physical-product-of-labor (MPPL). Demikan juga, dR/dL mempunyai arti sebagai fungsi marginal-revenue-product-of-labor (MRPL). Jadi, hasil di atas menunjukkan pernyataan matematis dari hasil yang terkenal dalam ilmu ekonomi, yaitu MRPL = MR ∙ MRPL.
Contoh 1 Bila z = 3y2, di mana y = 2x + 5, maka
Contoh 2 Bila z = y - 3, di mana y = x3, maka
Contoh 3 Kegunaan aturan ini sangat diperlukan bila ketika harus mendiferensiasikan suatu fungsi seperti z = (x2 + 3x - 2)17. Tanpa aturan rantai, dz/dx hanya dapat diperoleh melalui pekerjaan yang memakan waktu lama dari perkalian pangkat 17. Akan tetapi, dengan aturan rantai kita dapat memperolehnya melalui jalan pintas dengan menentukan variabel intermediate yang baru, y = x2 + 3x - 2, sehingga kita peroleh dua fungsi penghubung dalam suatu rangkaian:
z = y17 dan y = x2 + 3x - 2
Kemudian derivatif dz/dx dapat diperoleh sebagai berikut:Contoh 4 Jika diketahui fungsi pendapatan total R = f(Q) dari suatu perusahaan, di mana output Q adalah fungsi dari input tenaga kerja (labor input) L, atau Q = g(L), carilah dR/dL. Dengan aturan rantai, kita peroleh
Gambar oleh analogicus dari Pixabay
